ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.40 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через середину диагонали \(AC\) прямоугольника \(ABCD\) проведена прямая, пересекающая стороны \(BC\) и \(AD\) прямоугольника в точках \(M\) и \(K\) соответственно, \(AC = 15\) см, \(AK = 4\) см, \(KD = 8\) см. Найдите площадь четырёхугольника \(AMCK\).

Дано: \(AC = 15\), \(AK = 4\), \(KD = 8\).

Найдем \(CK\) по теореме Пифагора: \(CK = \sqrt{AC^2 — AD^2} = \sqrt{15^2 — 12^2} = \sqrt{225 — 144} = 9\).

Площадь четырёхугольника \(AMCK\) равна произведению \(AK\) на \(CK\): \(S = AK \times CK = 4 \times 9 = 36\).

1. Дано, что \(ABCD\) — прямоугольник, диагональ \(AC = 15\) см. Через середину диагонали \(AC\) проведена прямая, которая пересекает стороны \(BC\) и \(AD\) в точках \(M\) и \(K\).

2. Из условия известно, что \(AK = 4\) см и \(KD = 8\) см, следовательно, длина стороны \(AD = AK + KD = 4 + 8 = 12\) см.

3. В прямоугольнике стороны \(AD\) и \(BC\) равны, значит \(BC = 12\) см.

4. Диагональ \(AC\) и сторона \(AD\) образуют прямоугольный треугольник \(ADC\), где \(AC = 15\) см и \(AD = 12\) см.

5. Найдём длину стороны \(DC\) по теореме Пифагора: \(DC = \sqrt{AC^2 — AD^2} = \sqrt{15^2 — 12^2} = \sqrt{225 — 144} = \sqrt{81} = 9\) см.

6. Точка \(K\) лежит на стороне \(AD\), отрезок \(KD = 8\) см, значит отрезок \(CK\) является частью стороны \(DC\) и равен \(9\) см.

7. Поскольку \(M\) — середина диагонали \(AC\), то прямая через \(M\) делит четырёхугольник \(AMCK\) таким образом, что его площадь равна произведению отрезков \(AK\) и \(CK\).

8. Рассчитаем площадь четырёхугольника \(AMCK\): \(S = AK \times CK = 4 \times 9 = 36\) см\(^2\).

9. Проверяем полученный результат с условием и данными задачи — все значения корректны.

10. Итог: площадь четырёхугольника \(AMCK\) равна 36 см\(^2\).