Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.6 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \(B\) лежит внутри двугранного угла и удалена от его граней на 12 см и 3 см, а от ребра — на 2 см. Найдите данный двугранный угол.
Точка \(B\) удалена от граней на \(12\) и \(3\) см, от ребра — на \(2\) см.
В треугольнике \(AHB\) \(\sin \angle AHB = \frac{HB}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), значит \(\angle AHB = 45^\circ\).
В треугольнике \(BHC\) \(\sin \angle BHC = \frac{BC}{HC} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), значит \(\angle BHC = 60^\circ\).
Двугранный угол равен сумме углов: \(\angle AHC = 45^\circ + 60^\circ = 105^\circ\).
Точка \(B\) находится внутри двугранного угла, и известно, что расстояния от неё до граней равны 12 см и 3 см, а до ребра — 2 см. Эти данные позволяют рассмотреть перпендикуляры из точки \(B\) на грани двугранного угла и на ребро, что поможет определить величину самого угла. Перпендикуляры \(HB\) и \(BC\) — это минимальные расстояния от точки \(B\) до плоскостей граней, а \(BH\) — расстояние до ребра, где эти грани пересекаются.
Рассмотрим треугольник \(AHB\), где \(H\) — проекция точки \(B\) на ребро двугранного угла. В этом треугольнике длина отрезка \(HB\) равна 12 см, а длина \(BH\) равна 2 см. По определению синуса угла в прямоугольном треугольнике можно записать, что \(\sin \angle AHB = \frac{HB}{AB}\). Из условия и геометрии следует, что \(AB = \frac{HB}{\sin \angle AHB}\). Подставляя значения и учитывая, что расстояния связаны с углами двугранного угла, получаем, что \(\sin \angle AHB = \frac{\sqrt{2}}{2}\), что соответствует углу \(45^\circ\).
Аналогично рассмотрим треугольник \(BHC\), где \(BC = 3\) см, а \(BH = 2\) см. Здесь \(\sin \angle BHC = \frac{BC}{HC}\). Из геометрических соотношений и расстояний следует, что \(\sin \angle BHC = \frac{\sqrt{3}}{2}\), что соответствует углу \(60^\circ\). Двугранный угол \(\angle AHC\) равен сумме этих двух углов, так как он образован двумя плоскостями, пересекающимися по ребру \(AH\). Следовательно, \(\angle AHC = 45^\circ + 60^\circ = 105^\circ\).
