Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 13.8 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 13.13).
1) Среди приведённых углов укажите линейный угол двугранного угла, грани которого принадлежат плоскостям \(ABC\) и \(AB_1C_1\):
а) \(\angle A_1AB\); б) \(\angle A_1AB_1\); в) \(\angle B_1DA\); г) \(\angle B_1AB\); д) \(\angle B_1DB\).
2) Найдите величину указанного двугранного угла.
Линейный угол двугранного угла между плоскостями \(ABC\) и \(AB_1C_1\) — это угол \(\angle B_1AB\).
Для вычисления тангенса угла используем отношение \( \frac{BB_1}{AB} \).
Так как \(BB_1 = 1\), а \(AB = \frac{\sqrt{2}}{2}\), то
\(\tan \angle B_1AB = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2}\).
Следовательно, величина двугранного угла равна \(\arctan \sqrt{2}\).
Двугранный угол образован двумя плоскостями \(ABC\) и \(AB_1C_1\), которые пересекаются по прямой \(AB\). Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными линии их пересечения \(AB\). В плоскости \(ABC\) такой прямой является \(BC\), а в плоскости \(AB_1C_1\) — ребро \(BB_1\). Таким образом, линейным углом двугранного угла является угол между прямыми \(BC\) и \(BB_1\) в точке \(B\). Однако в предложенных вариантах углов подходящим является угол \(\angle B_1AB\), так как он соответствует углу между ребрами \(AB\) и \(AB_1\), которые лежат в данных плоскостях и образуют этот двугранный угол.
Для определения величины двугранного угла необходимо найти угол между прямыми, перпендикулярными линии пересечения плоскостей, то есть между \(BC\) и \(BB_1\). Длина ребра куба равна 1, следовательно, \(BB_1 = 1\). Длина ребра \(AB\) равна стороне грани куба, а диагональ грани \(AC\) равна \( \sqrt{2} \), поэтому \(AB = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Угол между \(BC\) и \(BB_1\) можно найти через тангенс угла: \(\tan \angle B_1AB = \frac{BB_1}{AB} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2}\).
Отсюда величина двугранного угла равна \(\arctan \sqrt{2}\). Это значение показывает, что двугранный угол между плоскостями \(ABC\) и \(AB_1C_1\) достаточно острый и его линейный угол выражается через арктангенс корня из двух, что соответствует геометрическим свойствам куба и взаимному расположению его граней.
