ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 14.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагонали параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\), точка \(M\) не принадлежит плоскости \(ABC\) (рис. 14.14). Докажите, что если \(MA = MC\) и \(MB = MD\), то плоскости \(ABC\) и \(BMD\) перпендикулярны.

Диагонали параллелограмма \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\), причем \(O\) — середина диагоналей.

По условию \(MA = MC\) и \(MB = MD\), значит точки \(M\) равноудалены от пар вершин \(A, C\) и \(B, D\).

Это означает, что \(MO\) перпендикулярен плоскости \(ABC\).

Так как \(MO\) лежит в плоскости \(BMD\), то плоскости \(ABC\) и \(BMD\) перпендикулярны.

1. В параллелограмме \(ABCD\) точки \(O\) — середина диагоналей, значит \(AO = OC\) и \(BO = OD\).

2. По условию \(MA = MC\) и \(MB = MD\), то есть точка \(M\) равноудалена от пар вершин \(A, C\) и \(B, D\).

3. Рассмотрим векторы \( \overrightarrow{MA} \) и \( \overrightarrow{MC} \). Из равенства длин следует, что \(M\) лежит на перпендикуляре к отрезку \(AC\) в его середине \(O\).

4. Аналогично, из равенства \(MB = MD\) следует, что \(M\) лежит на перпендикуляре к отрезку \(BD\) в точке \(O\).

5. Таким образом, \(M\) лежит на линии, проходящей через \(O\) и перпендикулярной плоскости \(ABC\).

6. Вектор \( \overrightarrow{MO} \) перпендикулярен плоскости \(ABC\).

7. Поскольку точки \(B, M, D\) лежат в плоскости \(BMD\), вектор \( \overrightarrow{MO} \) принадлежит этой плоскости.

8. Следовательно, плоскость \(BMD\) содержит вектор, перпендикулярный плоскости \(ABC\).

9. Это означает, что плоскости \(ABC\) и \(BMD\) перпендикулярны.

10. Итог: плоскости \(ABC\) и \(BMD\) перпендикулярны, что и требовалось доказать.