Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 14.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью, проходящей через середины рёбер \(AB\) и \(BC\) и перпендикулярной плоскости \(ABC\).
Пусть \(M\) и \(N\) — середины рёбер \(AB\) и \(BC\) соответственно, тогда \(M = \frac{A+B}{2}\), \(N = \frac{B+C}{2}\).
Плоскость сечения проходит через \(M\) и \(N\) и перпендикулярна плоскости \(ABC\), значит она вертикальна.
Продлевая плоскость вверх, на верхних рёбрах \(A_1D_1\) и \(B_1C_1\) находим точки пересечения \(L\) и \(K\), соответствующие проекциям \(M\) и \(N\).
Сечение — четырёхугольник \(MNLK\), где \(M,N\) — середины нижних рёбер \(AB, BC\), а \(L,K\) — соответствующие точки на верхних рёбрах \(A_1D_1, B_1C_1\).
1. Пусть \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) — прямоугольный параллелепипед. Обозначим середины рёбер \( AB \) и \( BC \) как точки \( M \) и \( N \) соответственно. Тогда \( M = \frac{A + B}{2} \), \( N = \frac{B + C}{2} \).
2. Плоскость \( ABC \) лежит в основании параллелепипеда. Её нормальный вектор направлен вдоль оси \( z \) (если принять основание за плоскость \( xy \)).
3. Плоскость сечения проходит через точки \( M \) и \( N \) и перпендикулярна плоскости \( ABC \). Значит, эта плоскость вертикальна и содержит прямую \( MN \).
4. Рассмотрим верхнюю грань параллелепипеда \( A_1B_1C_1D_1 \), параллельную основанию. Продлим плоскость сечения вверх, чтобы она пересекала рёбра \( A_1D_1 \) и \( B_1C_1 \).
5. Найдём точки пересечения плоскости с рёбрами \( A_1D_1 \) и \( B_1C_1 \), обозначим их как \( L \) и \( K \) соответственно. Так как плоскость вертикальна и параллельна ребрам \( AD \) и \( BC \), точки \( L \) и \( K \) — середины этих рёбер на верхней грани.
6. Тогда \( L = \frac{A_1 + D_1}{2} \), \( K = \frac{B_1 + C_1}{2} \).
7. Четырёхугольник \( MNLK \) образует искомое сечение параллелепипеда.
8. Отрезок \( MN \) лежит на нижнем основании, отрезок \( LK \) — на верхнем основании, а стороны \( ML \) и \( NK \) вертикальны и параллельны рёбрам параллелепипеда.
9. Плоскость сечения перпендикулярна основанию \( ABC \), что подтверждается тем, что нормальный вектор сечения направлен вдоль оси \( z \), перпендикулярной плоскости основания.
10. Таким образом, сечение — четырёхугольник с вершинами в серединах рёбер \( AB, BC, B_1C_1, A_1D_1 \), то есть \( MNLK \).
