ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 14.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Рёбра тетраэдра \(DABC\) равны, точки \(E\) и \(F\) — середины рёбер \(AD\) и \(BC\) (рис. 14.15). Докажите перпендикулярность плоскостей:

1) \(ADF\) и \(BCD\);

2) \(ADF\) и \(BCE\).

Пусть \(F\) — середина ребра \(BC\), тогда \(F\) лежит на отрезке \(BC\).

Плоскость \(ADF\) содержит отрезок \(AF\), который перпендикулярен плоскости \(BCD\), так как \(AF\) является высотой в треугольнике \(ABC\) с равными рёбрами. Следовательно, \(ADF \perp BCD\).

Точка \(E\) — середина ребра \(AD\), значит \(E\) лежит на отрезке \(AD\). Плоскость \(BCE\) содержит ребро \(BC\), а \(F\) — середина \(BC\). Так как \(AF \perp BCE\), то \(ADF \perp BCE\).

Таким образом, доказано, что \(ADF \perp BCD\) и \(ADF \perp BCE\).

1) Рассмотрим треугольник \(BCD\). Точка \(F\) — середина ребра \(BC\), значит \(BF = FC\). В равностороннем тетраэдре \(DABC\) ребра равны, следовательно, треугольник \(BCD\) равнобедренный с основанием \(BD\).

Проведём высоту из вершины \(D\) на сторону \(BC\). Эта высота будет перпендикулярна плоскости \(BCD\) и проходить через точку \(F\), так как \(F\) — середина \(BC\). Значит, отрезок \(DF\) перпендикулярен плоскости \(BCD\).

Плоскость \(ADF\) содержит отрезок \(DF\), следовательно, \(ADF \perp BCD\).

2) Точка \(E\) — середина ребра \(AD\), значит \(AE = ED\). Рассмотрим плоскость \(BCE\). Она содержит ребро \(BC\) и точку \(E\).

Из пункта 1 известно, что \(DF \perp BC\). Поскольку \(F\) — середина \(BC\), а \(E\) — середина \(AD\), отрезок \(DF\) перпендикулярен и к плоскости \(BCE\).

Плоскость \(ADF\) содержит отрезок \(DF\), значит, \(ADF \perp BCE\).