Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 14.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Рёбра тетраэдра \(DABC\) равны, точки \(E\) и \(F\) — середины рёбер \(AD\) и \(BC\) (рис. 14.15). Докажите перпендикулярность плоскостей:
1) \(ADF\) и \(BCD\);
2) \(ADF\) и \(BCE\).
Пусть \(F\) — середина ребра \(BC\), тогда \(F\) лежит на отрезке \(BC\).
Плоскость \(ADF\) содержит отрезок \(AF\), который перпендикулярен плоскости \(BCD\), так как \(AF\) является высотой в треугольнике \(ABC\) с равными рёбрами. Следовательно, \(ADF \perp BCD\).
Точка \(E\) — середина ребра \(AD\), значит \(E\) лежит на отрезке \(AD\). Плоскость \(BCE\) содержит ребро \(BC\), а \(F\) — середина \(BC\). Так как \(AF \perp BCE\), то \(ADF \perp BCE\).
Таким образом, доказано, что \(ADF \perp BCD\) и \(ADF \perp BCE\).
1) Рассмотрим треугольник \(BCD\). Точка \(F\) — середина ребра \(BC\), значит \(BF = FC\). В равностороннем тетраэдре \(DABC\) ребра равны, следовательно, треугольник \(BCD\) равнобедренный с основанием \(BD\).
Проведём высоту из вершины \(D\) на сторону \(BC\). Эта высота будет перпендикулярна плоскости \(BCD\) и проходить через точку \(F\), так как \(F\) — середина \(BC\). Значит, отрезок \(DF\) перпендикулярен плоскости \(BCD\).
Плоскость \(ADF\) содержит отрезок \(DF\), следовательно, \(ADF \perp BCD\).
2) Точка \(E\) — середина ребра \(AD\), значит \(AE = ED\). Рассмотрим плоскость \(BCE\). Она содержит ребро \(BC\) и точку \(E\).
Из пункта 1 известно, что \(DF \perp BC\). Поскольку \(F\) — середина \(BC\), а \(E\) — середина \(AD\), отрезок \(DF\) перпендикулярен и к плоскости \(BCE\).
Плоскость \(ADF\) содержит отрезок \(DF\), значит, \(ADF \perp BCE\).
