Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 14.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точки \(A\) и \(B\) лежат в перпендикулярных плоскостях \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно. Из точек \(A\) и \(B\) опустили перпендикуляры \(AC\) и \(BD\) на линию пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\). Найдите расстояние от точки \(B\) до линии пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\), если расстояние от точки \(A\) до этой линии равно 9 см, \(AB = 17\) см, \(CD = 12\) см.
Пусть \(d\) — линия пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\). Расстояние от \(A\) до \(d\) равно 5, от \(B\) до \(d\) равно \(\frac{5}{2}\).
Угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(\beta\) равен \(30^\circ\), значит длина проекции \(AB\) на \(\beta\) связана с длиной \(AB\) через косинус этого угла.
Используем треугольник \(ABK\), где \(K\) — проекция точек на линию \(d\). Тогда
\(\cos \angle (AB, \alpha) = \frac{AK}{BK} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Отсюда \(\angle (AB, \alpha) = 45^\circ\).
1. Пусть \(d\) — линия пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\). Точка \(A\) лежит в плоскости \(\alpha\), точка \(B\) — в плоскости \(\beta\).
2. По условию расстояние от точки \(A\) до линии \(d\) равно 5 см, то есть \(AK = 5\), где \(K\) — проекция точки \(A\) на линию \(d\).
3. Расстояние от точки \(B\) до линии \(d\) равно \(\frac{5}{2}\) см, то есть \(BK = \frac{5}{2}\).
4. Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) перпендикулярны, значит угол между ними равен \(90^\circ\).
5. Дано, что угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(\beta\) равен \(30^\circ\).
6. Рассмотрим треугольник \(ABK\), где \(K\) — точка пересечения перпендикуляров из \(A\) и \(B\) на линию \(d\).
7. В этом треугольнике \(AK = 5\), \(BK = \frac{5}{2}\), а угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(\beta\) равен \(30^\circ\).
8. Так как плоскости перпендикулярны, угол между прямой \(AB\) и плоскостью \(\alpha\) можно найти через отношение длин \(AK\) и \(BK\).
9. Вычисляем косинус угла между \(AB\) и плоскостью \(\alpha\) по формуле: \(\cos \theta = \frac{AK}{BK \sqrt{2}}\).
10. Подставляем значения: \(\cos \theta = \frac{5}{\frac{5}{2} \sqrt{2}} = \frac{5}{\frac{5 \sqrt{2}}{2}} = \frac{5 \cdot 2}{5 \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\).
Так как \(\cos \theta\) не может быть больше 1, проверяем правильность вычислений и понимаем, что правильная формула:
\(\cos \theta = \frac{AK}{AB} = \frac{5}{5 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Отсюда \(\theta = 45^\circ\).
