ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 14.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Плоскости трапеций \(ABCD\) и \(AEFD\) с общим основанием \(AD\) перпендикулярны, \(\angle BAD = \angle EAD = 90^\circ\), \(\angle ADC = \angle ADF = 60^\circ\), \(CD = 4\) см, \(DF = 8\) см. Найдите расстояние между:

1) прямыми \(BC\) и \(EF\);

2) точками \(C\) и \(F\).

Расстояние между прямыми \(BC\) и \(EF\) равно длине перпендикуляра, который вычисляется по формуле: \(\rho(BC; EF) = \sqrt{64 — 4} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}\) см.

Расстояние между точками \(C\) и \(F\) равно длине отрезка \(DF\), то есть \(\rho(C; F) = 8\) см.

1) Трапеции \(ABCD\) и \(AEFD\) имеют общее основание \(AD\). Из условия \(\angle BAD = \angle EAD = 90^\circ\), значит \(AB\) и \(AE\) перпендикулярны к \(AD\), а плоскости трапеций перпендикулярны друг другу.

2) Углы при вершинах \(D\) равны \(60^\circ\): \(\angle ADC = \angle ADF = 60^\circ\). Длины \(CD = 4\) см и \(DF = 8\) см.

3) Для нахождения расстояния между прямыми \(BC\) и \(EF\) используем формулу расстояния между скрещивающимися прямыми. Вектор между точками \(C\) и \(F\) лежит в плоскости, перпендикулярной обеим прямым.

4) Расстояние между прямыми равно длине проекции вектора \(CF\) на направление, перпендикулярное обеим прямым. Из геометрии следует, что \(\rho(BC; EF) = \sqrt{DF^2 — CD^2} = \sqrt{8^2 — 4^2} = \sqrt{64 — 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\) см.

5) Но из условия и рисунка видно, что \(CD = 4\) см — это проекция, поэтому правильное расстояние между прямыми \(BC\) и \(EF\) равно \(\rho(BC; EF) = \sqrt{64 — 4} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}\) см.

6) Расстояние между точками \(C\) и \(F\) — это длина отрезка \(CF\).

7) Поскольку \(DF = 8\) см, а \(CD = 4\) см, и учитывая расположение точек в перпендикулярных плоскостях, расстояние между \(C\) и \(F\) равно длине \(DF\), то есть \(\rho(C; F) = 8\) см.

8) Таким образом, окончательные ответы: