ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 14.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что если плоскость \(\alpha\) и не лежащая в ней прямая перпендикулярны некоторой плоскости, то данные плоскость и прямая параллельны.

Дано: \( l \not\subset \alpha \), \( l \perp \beta \), \( \alpha \perp \beta \).

Пусть \( l \cap \alpha \neq \emptyset \). Тогда прямая \( l \) пересекает плоскость \( \alpha \).

Так как \( l \perp \beta \) и \( \alpha \perp \beta \), то прямая \( l \) должна быть параллельна плоскости \( \alpha \), иначе возникает противоречие.

Следовательно, \( l \parallel \alpha \).

1) Дано: \( l \not\subset \alpha \), \( l \perp \beta \), \( \alpha \perp \beta \).

2) Нужно доказать: \( l \parallel \alpha \).

3) Предположим противное, что \( l \not\parallel \alpha \). Тогда прямая \( l \) пересекает плоскость \( \alpha \), то есть \( l \cap \alpha = A \neq \emptyset \).

4) Так как \( \alpha \perp \beta \), то по определению плоскости, все прямые, лежащие в \( \alpha \), перпендикулярны плоскости \( \beta \).

5) В частности, прямая \( a \subset \alpha \), проходящая через точку \( A \), будет перпендикулярна плоскости \( \beta \).

6) По условию, прямая \( l \) также перпендикулярна плоскости \( \beta \).

7) Тогда в точке \( A \) существуют две разные прямые \( l \) и \( a \), обе перпендикулярные плоскости \( \beta \).

8) Это невозможно, так как из точки вне плоскости можно провести только одну перпендикулярную к данной плоскости прямую.

9) Следовательно, наше предположение неверно, и прямая \( l \) не пересекает плоскость \( \alpha \).

10) Значит, \( l \parallel \alpha \).