ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 14.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте сечение куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) плоскостью, проходящей через прямую \(AA_1\) и перпендикулярной плоскости \(BDD_1\).

Плоскость проходит через прямую \(AA_1\) и перпендикулярна плоскости \(BDD_1\).

Для построения сечения нужно найти пересечения этой плоскости с ребрами куба.

Плоскость содержит \(AA_1\) и перпендикулярна \(BDD_1\), значит она проходит через \(AA_1\) и через прямую, перпендикулярную \(AA_1\) в плоскости \(BDD_1\).

Эта прямая пересекает ребра \(B_1C_1\) и \(DC\).

Сечение — четырёхугольник с вершинами \(A, A_1, C_1, C\).

1. Рассмотрим куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Прямая \(AA_1\) — одно из вертикальных ребер куба.

2. Плоскость \(BDD_1\) задаётся точками \(B, D, D_1\). Эта плоскость содержит ребра \(BD\) и \(DD_1\).

3. Нужно построить плоскость, проходящую через прямую \(AA_1\) и перпендикулярную плоскости \(BDD_1\).

4. Найдём нормальный вектор плоскости \(BDD_1\). Векторы в плоскости: \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{BD_1}\).

5. Вектор \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{D} — \overrightarrow{B}\), вектор \(\overrightarrow{BD_1} = \overrightarrow{D_1} — \overrightarrow{B}\).

6. Нормальный вектор \(\mathbf{n} = \overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{BD_1}\).

7. Плоскость, проходящая через \(AA_1\) и перпендикулярная \(BDD_1\), будет содержать \(AA_1\) и вектор, перпендикулярный \(\mathbf{n}\) и параллельный \(AA_1\).

8. Так как \(AA_1\) вертикально, а \(\mathbf{n}\) перпендикулярен плоскости \(BDD_1\), искомая плоскость содержит \(AA_1\) и направлена вдоль вектора \(\mathbf{v} = \mathbf{n} \times \overrightarrow{AA_1}\).

9. Найдём точки пересечения этой плоскости с ребрами куба, кроме \(AA_1\): с ребрами \(B_1C_1\) и \(DC\).

10. Сечение — четырёхугольник с вершинами \(A, A_1, C_1, C\).