Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 14.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \(M\) — середина ребра \(A_1B_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).
1) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через прямую \(AD\) и точку \(M\).
2) Докажите, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости \(CC_1D_1\).
3) Найдите площадь сечения, если \(AD = 10\) см, \(AB = 8\) см, \(AA_1 = 6\) см.
Плоскость сечения проходит через прямую \(AD\) и точку \(M\), середину ребра \(A_1B_1\).
Плоскость сечения перпендикулярна плоскости \(CC_1D_1\), так как \(MN \perp CC_1\) и \(MN \perp CD\).
Длина \(DM = \sqrt{AA_1^2 + (A_1M)^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2 \cdot \frac{13}{\sqrt{13}}=\)
\( = 2 \sqrt{13}\).
Площадь сечения \(S = AD \cdot DM = 10 \cdot 2 \sqrt{13} = 20 \sqrt{13}\) см².
1) Плоскость сечения проходит через прямую \(AD\) и точку \(M\), которая является серединой ребра \(A_1B_1\). Так как \(AD\) — ребро основания, а \(M\) — точка на верхнем основании, плоскость пересекает ребра параллелепипеда, образуя четырехугольник \(ADM N\), где \(N\) — точка пересечения плоскости с ребром \(B C\) или \(B_1 C_1\).
2) Для доказательства перпендикулярности плоскости сечения плоскости \(CC_1D_1\) рассмотрим прямую \(MN\). Из условия и рисунка следует, что \(MN \perp CC_1\) и \(MN \perp CD\). Поскольку векторы \(CC_1\) и \(CD\) лежат в плоскости \(CC_1D_1\), то прямая \(MN\) перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, плоскость \(ADM N\), содержащая \(MN\) и \(AD\), перпендикулярна плоскости \(CC_1D_1\).
3) Даны размеры: \(AD = 10\) см, \(AB = 8\) см, \(AA_1 = 6\) см. Точка \(M\) — середина ребра \(A_1B_1\), значит \(A_1M = \frac{AB}{2} = 4\) см. Рассчитаем длину отрезка \(DM\). В прямоугольном треугольнике \(D A_1 M\) катеты равны \(DA_1 = AA_1 = 6\) см и \(A_1 M = 4\) см, тогда \(DM = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}\) см. Площадь сечения равна произведению \(AD\) на \(DM\), так как сечение — параллелограмм с этими сторонами: \(S = AD \cdot DM = 10 \cdot 2 \sqrt{13} = 20 \sqrt{13}\) см².
