ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 14.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \(E\), \(F\) и \(M\) — середины соответственно рёбер \(BC\), \(B_1C_1\) и \(C_1D_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).
1) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью \(EFM\).
2) Докажите, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости \(ABC\).
3) Найдите площадь сечения, если \(AD = 8\) см, \(AA_1 = 12\) см, \(AB = 6\) см.

Точки \(E\), \(F\), \(M\) — середины рёбер \(BC\), \(B_1C_1\), \(C_1D_1\). Плоскость \(EFM\) образует треугольник.

Плоскость \(EFM\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), так как \(EF \perp BC\) и \(EF \perp AD\), а \(BC\) и \(AD\) лежат в плоскости \(ABC\).

Длина \(FM = \sqrt{6^2 + 3^2} = 5\) см, где 6 и 3 — половины соответствующих рёбер.

Площадь сечения \(S = FM \times AA_1 = 5 \times 12 = 60\) см².

1) Точки \(E\), \(F\), \(M\) — середины рёбер \(BC\), \(B_1C_1\), \(C_1D_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Соединим их, получим треугольник \(EFM\), который и есть сечение параллелепипеда плоскостью \(EFM\).

2) Плоскость \(ABC\) содержит рёбра \(BC\) и \(AD\), которые перпендикулярны друг другу. Вектор \(EF\) перпендикулярен ребру \(BC\), так как \(E\) и \(F\) — середины сторон, а в прямоугольном параллелепипеде ребра перпендикулярны. Также \(EF\) перпендикулярен \(AD\), так как \(AD \parallel BC\), следовательно, плоскость \(EFM\), содержащая \(EF\), перпендикулярна плоскости \(ABC\).

3) Длина отрезка \(FM\) найдётся по теореме Пифагора. Точка \(F\) — середина ребра \(B_1C_1\) длиной \(AB = 6\) см, значит \(FC_1 = 6\) см. Точка \(M\) — середина ребра \(C_1D_1\) длиной \(AD = 8\) см, значит \(C_1M = 4\) см. Тогда

\(FM = \sqrt{FC_1^2 + C_1M^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\) см.

Высота треугольника \(EFM\) равна длине ребра \(AA_1 = 12\) см.

Площадь сечения равна произведению основания \(FM\) на высоту \(AA_1\):

\(S_{EFM} = FM \times AA_1 = 2\sqrt{13} \times 12 = 24\sqrt{13}\) см².