Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 14.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Плоскости квадрата \(ABCD\) и треугольника \(AFB\) перпендикулярны, точка \(O\) — центр квадрата \(ABCD\). Найдите расстояние от точки \(F\) до центра окружности, проходящей через точки \(C\), \(D\) и \(O\), если \(AB = 10\) см, \(AF = BF = 15\) см.
Пусть \(ed\) — расстояние между точками \(e\) и \(d\), тогда по теореме Пифагора \(ed = \sqrt{100 + 25} = 5\sqrt{5}\).
Расстояние \(FP\) находим как \(FP = \sqrt{125 + 175} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}\).
Ответ: \(FP = 10\sqrt{3}\) см.
Пусть у нас есть квадрат \(ABCD\) с длиной стороны \(AB = 10\) см, и точка \(O\) — центр этого квадрата. Из условия известно, что плоскости квадрата \(ABCD\) и треугольника \(AFB\) перпендикулярны, а также что \(AF = BF = 15\) см. Нам нужно найти расстояние от точки \(F\) до центра окружности, проходящей через точки \(C\), \(D\) и \(O\).
Сначала рассмотрим квадрат \(ABCD\). Центр квадрата \(O\) — это точка пересечения диагоналей, и она делит диагонали пополам. Длина диагонали квадрата равна \(AB \sqrt{2} = 10 \sqrt{2}\) см, следовательно, расстояние от центра \(O\) до любой вершины квадрата, например, до \(C\) или \(D\), равно половине диагонали, то есть \(5 \sqrt{2}\) см.
Теперь определим центр окружности, проходящей через точки \(C\), \(D\) и \(O\). Эти три точки лежат в одной плоскости, и поскольку \(O\) — центр квадрата, а \(C\) и \(D\) — соседние вершины, то центр описанной окружности треугольника \(CDO\) будет находиться на отрезке, перпендикулярном к стороне \(CD\), и равноудалён от всех трёх точек. Обозначим этот центр как \(P\).
Рассмотрим треугольник \(CDO\). Сторона \(CD = 10\) см, расстояние \(OD = OC = 5 \sqrt{2}\) см, а угол между сторонами \(CD\) и \(DO\) равен 45°. Используя теорему Пифагора, можно найти расстояние \(ed\) между точками \(e\) (проекцией центра окружности на сторону \(CD\)) и \(d\) (концом отрезка \(CD\)):
\(ed = \sqrt{100 + 25} = 5 \sqrt{5}\).
Теперь, чтобы найти расстояние от точки \(F\) до центра окружности \(P\), нам нужно учесть, что плоскости квадрата и треугольника \(AFB\) перпендикулярны. Это означает, что \(F\) находится на высоте относительно плоскости квадрата. Расстояние \(FP\) вычисляется по теореме Пифагора в пространстве, где одна часть — это расстояние от \(P\) до основания \(O\), а вторая — вертикальное расстояние от \(F\) до плоскости квадрата.
Вычисляем \(FP\):
\(FP = \sqrt{125 + 175} = \sqrt{300} = 10 \sqrt{3}\).
Таким образом, искомое расстояние от точки \(F\) до центра окружности, проходящей через точки \(C\), \(D\) и \(O\), равно \(10 \sqrt{3}\) см.
