ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 14.28 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Плоскости квадратов \(ABCD\) и \(BEFD\) перпендикулярны, \(AB = a\). Найдите расстояние между прямыми:

1) \(BE\) и \(DF\);

2) \(BE\) и \(CD\).

Расстояние между параллельными прямыми \(BE\) и \(DF\) равно длине стороны квадрата, то есть \(a\).

Расстояние между скрещивающимися прямыми \(BE\) и \(CD\) равно длине перпендикуляра между плоскостями, что равно диагонали квадрата \(a \sqrt{2}\).

Ответ:
1) \(\rho(BE, DF) = a\)
2) \(\rho(BE, CD) = a \sqrt{2}\)

1) Квадраты \(ABCD\) и \(BEFD\) имеют сторону \(a\). Прямые \(BE\) и \(DF\) принадлежат квадрату \(BEFD\), который расположен перпендикулярно плоскости квадрата \(ABCD\). Эти прямые параллельны, так как они противоположные стороны квадрата \(BEFD\).

Расстояние между параллельными прямыми равно длине перпендикуляра между ними. В квадрате \(BEFD\) расстояние между прямыми \(BE\) и \(DF\) равно стороне квадрата \(a\). Значит, \(\rho(BE, DF) = a\).

2) Прямые \(BE\) и \(CD\) лежат в перпендикулярных плоскостях: \(BE\) — в плоскости квадрата \(BEFD\), а \(CD\) — в плоскости квадрата \(ABCD\). Эти прямые скрещиваются.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми нужно найти длину общего перпендикуляра. Рассмотрим вектор \( \overrightarrow{BC} \) в плоскости \(ABCD\), он равен стороне квадрата \(a\), а диагональ квадрата \(ABCD\) равна \(a \sqrt{2}\).

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине проекции диагонали квадрата на направление перпендикуляра между плоскостями, что даёт \(\rho(BE, CD) = a \sqrt{2}\).