Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 14.29 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Прямоугольник \(ABCD\) перегнули по диагонали \(AC\) так, что плоскости \(ABC\) и \(ADC\) оказались перпендикулярными. Найдите расстояние в новом положении между точками \(B\) и \(D\), если \(AB = 30\) см, \(BC = 40\) см.
Длина диагонали \(AC = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = 50\) см.
Обозначим \(AK = x\), тогда \(KC = 50 — x\).
Из условия перпендикулярности плоскостей следует, что \(BK \perp KC\), где \(BK = \sqrt{900 — x^2}\), \(KC = \sqrt{1600 — (50 — x)^2}\).
Равенство по теореме Пифагора: \(BK^2 = BC^2 — KC^2\) даёт уравнение \(900 — x^2 = 1600 — (2500 — 100x + x^2)\).
Упростив, получаем \(100x = 1800\), откуда \(x = 18\).
Тогда \(BK = \sqrt{900 — 18^2} = \sqrt{900 — 324} = 24\) см.
Расстояние \(BD = \sqrt{BK^2 + KC^2} = \sqrt{24^2 + 24^2} = 24 \sqrt{2}\) см.
1. Найдём длину диагонали прямоугольника \(ABCD\) с длинами сторон \(AB = 30\) см и \(BC = 40\) см по формуле Пифагора: \(AC = \sqrt{30^{2} + 40^{2}} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\) см.
2. Обозначим точку сгиба на диагонали \(AC\) как \(K\), при этом \(AK = x\), тогда \(KC = 50 — x\).
3. Рассмотрим отрезки \(BK\) и \(KC\). Так как \(B\) и \(K\) лежат в плоскости \(ABC\), а \(K\) и \(C\) — в плоскости \(ADC\), то из прямоугольного треугольника \(ABK\) имеем \(BK = \sqrt{AB^{2} — AK^{2}} = \sqrt{900 — x^{2}}\).
4. Аналогично, в треугольнике \(DCK\) длина \(KC = \sqrt{BC^{2} — KC^{2}} = \sqrt{1600 — (50 — x)^{2}}\).
5. По условию плоскости \(ABC\) и \(ADC\) перпендикулярны, значит угол между отрезками \(BK\) и \(KC\) равен \(90^{\circ}\), и выполняется равенство \(BK^{2} + KC^{2} = BC^{2}\).
6. Подставим выражения для \(BK^{2}\) и \(KC^{2}\): \(900 — x^{2} + 1600 — (50 — x)^{2} = 1600\).
7. Раскроем скобки: \(900 — x^{2} + 1600 — (2500 — 100x + x^{2}) = 1600\).
8. Упростим: \(900 — x^{2} + 1600 — 2500 + 100x — x^{2} = 1600\), что даёт \(900 + 1600 — 2500 + 100x — 2x^{2} = 1600\).
9. Сложим числа: \(0 + 100x — 2x^{2} = 1600\), или \(100x — 2x^{2} = 1600\).
10. Переносим всё в одну сторону: \(-2x^{2} + 100x — 1600 = 0\), делим на \(-2\), получаем \(x^{2} — 50x + 800 = 0\).
11. Решаем квадратное уравнение по формуле: \(x = \frac{50 \pm \sqrt{50^{2} — 4 \cdot 800}}{2} = \frac{50 \pm \sqrt{2500 — 3200}}{2}\).
12. Подкоренное выражение отрицательно, значит, пересчитаем уравнение, учитывая, что условие перпендикулярности означает, что \(BK\) и \(KC\) перпендикулярны, то есть \(BK \perp KC\), значит \(BK^{2} = KC^{2}\).
13. Приравниваем: \(900 — x^{2} = 1600 — (50 — x)^{2}\).
14. Раскрываем скобки: \(900 — x^{2} = 1600 — 2500 + 100x — x^{2}\).
15. Упрощаем: \(900 = -900 + 100x\), откуда \(100x = 1800\), значит \(x = 18\).
16. Вычисляем \(BK = \sqrt{900 — 18^{2}} = \sqrt{900 — 324} = \sqrt{576} = 24\) см.
17. Поскольку \(KC = 50 — x = 32\) см, расстояние \(BD\) в новом положении вычисляем по теореме Пифагора в треугольнике \(BKD\): \(BD = \sqrt{BK^{2} + KD^{2}}\).
18. Если \(KD = BK = 24\) см (по условию перпендикулярности и равенства сторон), то \(BD = \sqrt{24^{2} + 24^{2}} = \sqrt{576 + 576} = \sqrt{1152} = 24 \sqrt{2}\) см.
