Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 14.3 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Верно ли утверждение:
1) если плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) перпендикулярны, то любая прямая, лежащая в плоскости \(\alpha\), перпендикулярна плоскости \(\beta\);
2) если плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) перпендикулярны, то плоскость \(\alpha\) перпендикулярна любой прямой, параллельной плоскости \(\beta\);
3) если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то эти плоскости параллельны?
1) Неверно, так как если плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) перпендикулярны, это не значит, что любая прямая в \(\alpha\) перпендикулярна \(\beta\). Только прямая, перпендикулярная линии пересечения плоскостей, будет перпендикулярна \(\beta\).
2) Верно, потому что если \(\alpha \perp \beta\), то \(\alpha\) перпендикулярна любой прямой, параллельной \(\beta\), так как направление прямой совпадает с направлением плоскости \(\beta\).
3) Верно, так как если две плоскости перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой, поскольку обе образуют прямой угол с одной и той же плоскостью.
1) Пусть плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) перпендикулярны, то есть угол между ними равен \(90^\circ\). Это означает, что нормаль к плоскости \(\alpha\) перпендикулярна нормали к плоскости \(\beta\). Однако прямая, лежащая в плоскости \(\alpha\), может быть направлена произвольно и не обязательно перпендикулярна плоскости \(\beta\). Например, если прямая параллельна линии пересечения плоскостей, она будет лежать в обеих плоскостях и не будет перпендикулярна \(\beta\). Следовательно, утверждение неверно.
2) Если плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) перпендикулярны, то нормаль к \(\alpha\) перпендикулярна нормали к \(\beta\). Любая прямая, параллельная плоскости \(\beta\), лежит в направлении, перпендикулярном нормали \(\beta\). Поскольку \(\alpha\) перпендикулярна \(\beta\), она содержит нормаль к \(\beta\) или направление, перпендикулярное направлениям в \(\beta\). Следовательно, плоскость \(\alpha\) перпендикулярна любой прямой, параллельной \(\beta\). Утверждение верно.
3) Пусть две плоскости \(\alpha\) и \(\gamma\) перпендикулярны третьей плоскости \(\beta\). Тогда нормали к \(\alpha\) и \(\gamma\) обе перпендикулярны нормали к \(\beta\). Значит, нормали \(\alpha\) и \(\gamma\) лежат в одной плоскости, перпендикулярной \(\beta\). Если бы \(\alpha\) и \(\gamma\) не были параллельны, они пересекались бы по линии, которая была бы перпендикулярна \(\beta\), что противоречит условию перпендикулярности. Следовательно, \(\alpha\) и \(\gamma\) параллельны. Утверждение верно.
