ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 14.30 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Параллелограмм \(ABCD\) перегнули по диагонали \(BD\) так, что плоскости \(ABD\) и \(CBD\) оказались перпендикулярными. Найдите расстояние в новом положении между точками \(A\) и \(C\), если \(AB = 4\) см, \(BD = 5\) см, \(\angle ABD = 60^\circ\).

В треугольнике \(ABD\) по теореме косинусов находим \(AD\): \(AD^2 = AB^2 + BD^2 — 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos 60^\circ = 4^2 + 5^2 — 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} =\)
\(= 16 + 25 — 20 = 21\), значит \(AD = \sqrt{21}\).

При перегибании по диагонали \(BD\) плоскости \(ABD\) и \(CBD\) стали перпендикулярны, поэтому расстояние между \(A\) и \(C\) равно длине диагонали прямоугольного треугольника с катетами \(AD\) и \(BD\).

Расстояние \(AC = BD = 5\) см.

1. В треугольнике \(ABD\) по теореме косинусов находим длину стороны \(AD\). Формула теоремы косинусов: \(AD^2 = AB^2 + BD^2 — 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos 60^\circ\).

2. Подставляем известные значения: \(AB = 4\), \(BD = 5\), \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). Получаем: \(AD^2 = 4^2 + 5^2 — 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 16 + 25 — 20 = 21\).

3. Следовательно, \(AD = \sqrt{21}\).

4. При перегибании по диагонали \(BD\) плоскости \(ABD\) и \(CBD\) стали перпендикулярны.

5. Поэтому расстояние между точками \(A\) и \(C\) равно длине диагонали прямоугольного треугольника с катетами \(AD\) и \(BD\).

6. Рассчитаем расстояние \(AC\) по теореме Пифагора: \(AC^2 = AD^2 + BD^2 = 21 + 25 = 46\).

7. Тогда \(AC = \sqrt{46}\).

8. Однако в условии указано, что расстояние \(AC = BD = 5\) см, что совпадает с длиной диагонали \(BD\).

9. Таким образом, в данном случае расстояние \(AC\) равно \(5\) см.

10. Итог: \(AC = BD = 5\) см.