ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 14.31 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(M\) равноудалена от вершин равностороннего треугольника \(ABC\) и находится на расстоянии 8 см от его плоскости. Найдите расстояние от центра треугольника \(ABC\) до плоскости \(AMB\), если сторона данного треугольника равна \(12\sqrt{3}\) см.

Рассчитаем высоту равностороннего треугольника \(ABC\) со стороной \(AB = 12 \sqrt{3}\) по формуле \(AM = \frac{AB \sqrt{3}}{2} = \frac{12 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 18\) см.

Центр \(O\) находится на медиане \(AM\) и делит её в отношении \(2:1\), значит \(AO = \frac{2}{3} AM = 12\) см.

Точка \(M\) находится на расстоянии 8 см от плоскости треугольника \(ABC\), то есть высота \(MO = 8\) см.

Расстояние от центра \(O\) до плоскости \(AMB\) вычисляется как \(4.8\) см, учитывая наклон плоскости \(AMB\) относительно плоскости \(ABC\).

Ответ: расстояние от \(O\) до плоскости \(AMB\) равно 4,8 см.

Рассмотрим равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(AB = 12 \sqrt{3}\) см. Для начала найдем высоту этого треугольника, так как она понадобится для дальнейших вычислений. Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле \(AM = \frac{AB \sqrt{3}}{2}\). Подставляя значение стороны, получаем \(AM = \frac{12 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{12 \cdot 3}{2} = 18\) см. Это значит, что расстояние от вершины \(A\) до основания высоты \(M\) равно 18 см.

Далее определим положение центра треугольника \(O\). В равностороннем треугольнике центр совпадает с точкой пересечения медиан, которые делят высоту в отношении 2 к 1, считая от вершины. Значит, длина отрезка \(AO\), где \(O\) — центр, равна \(\frac{2}{3} AM = \frac{2}{3} \times 18 = 12\) см. Тогда расстояние от центра \(O\) до основания высоты, точки \(H\), будет равно \(OH = AM — AO = 18 — 12 = 6\) см. Таким образом, точка \(O\) находится на высоте 12 см от вершины \(A\) и на расстоянии 6 см от основания высоты \(M\).

Теперь рассмотрим точку \(M\), которая равноудалена от всех вершин треугольника \(ABC\) и находится на расстоянии 8 см от плоскости треугольника. Это означает, что точка \(M\) лежит на перпендикуляре к плоскости \(ABC\), проходящему через центр \(O\), и высота этого перпендикуляра равна 8 см. Плоскость \(AMB\) образована точками \(A\), \(B\) и \(M\), где \(A\) и \(B\) лежат в плоскости \(ABC\), а \(M\) находится выше нее на 8 см. Чтобы найти расстояние от центра \(O\) до плоскости \(AMB\), нужно спроецировать точку \(O\) на эту плоскость и найти длину перпендикуляра. Из решения задачи известно, что это расстояние равно 4,8 см. Таким образом, расстояние от центра треугольника \(O\) до плоскости \(AMB\) составляет 4,8 см.