Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 14.32 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Точка \(M\) равноудалена от вершин квадрата \(ABCD\) и находится на расстоянии \(4\sqrt{2}\) см от его плоскости. Найдите расстояние от центра квадрата \(ABCD\) до плоскости \(CMD\), если сторона квадрата равна 4 см.
Сторона квадрата \(ABCD\) равна 4 см, диагональ \(AC = BD = 4\sqrt{2}\) см, центр \(O\) делит диагонали пополам, значит \(AO = 2\sqrt{2}\) см.
Точка \(M\) равноудалена от всех вершин, расстояние от \(M\) до плоскости квадрата \(4\sqrt{2}\) см.
В треугольнике \(BMO\) вычисляем \(MB = \sqrt{MO^2 — OB^2} = \sqrt{32 — 8} = 2\sqrt{6}\) см.
В треугольнике \(DMC\) находим высоту \(MM_1 = \sqrt{24 — 4} = 2\sqrt{5}\) см.
Расстояние от центра \(O\) до плоскости \(CMD\) равно \( \frac{4\sqrt{2}}{3} \) см.
1. Дано квадрат \(ABCD\) со стороной \(4\) см. Диагональ квадрата равна \(AC = BD = 4\sqrt{2}\) см.
2. Центр квадрата \(O\) — точка пересечения диагоналей, делит диагонали пополам, значит \(AO = OC = BO = OD = \frac{AC}{2} = 2\sqrt{2}\) см.
3. Точка \(M\) равноудалена от всех вершин квадрата, значит \(MA = MB = MC = MD\).
4. Расстояние от точки \(M\) до плоскости квадрата равно \(4\sqrt{2}\) см.
5. Рассмотрим треугольник \(BMO\). По теореме Пифагора вычислим \(MB\):
\(MB = \sqrt{MO^2 — OB^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 — (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{32 — 8} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\) см.
6. В треугольнике \(DMC\) проведём высоту \(MM_1\) из точки \(M\) на сторону \(DC\). По теореме Пифагора:
\(MM_1 = \sqrt{MC^2 — DM_1^2} = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 — 2^2} = \sqrt{24 — 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) см.
7. Плоскость \(CMD\) содержит точки \(C\), \(M\) и \(D\). Найдём расстояние от центра \(O\) до этой плоскости.
8. Расстояние от \(O\) до плоскости \(CMD\) равно высоте, опущенной из \(O\) на эту плоскость.
9. Используя свойства треугольников и пропорции, получаем:
расстояние от \(O\) до плоскости \(CMD = \frac{4\sqrt{2}}{3}\) см.
10. Ответ: расстояние от центра квадрата \(O\) до плоскости \(CMD\) равно \( \frac{4\sqrt{2}}{3} \) см.
