ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 14.33 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Плоскости равностороннего треугольника \(AMB\) и квадрата \(ABCD\) перпендикулярны. Найдите угол между прямой \(MD\) и плоскостью \(ABC\).

Длина отрезка \(MK = \frac{\sqrt{3}}{2}\), длина отрезка \(KD = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}\).

Тангенс угла между прямой \(MD\) и плоскостью \(ABC\) равен отношению \( \frac{MK}{KD} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5} \).

Угол между прямой \(MD\) и плоскостью \(ABC\) равен \( \arctan \frac{\sqrt{15}}{5} \).

1. Рассмотрим треугольник \(AMB\), который равносторонний, значит все его стороны равны. Пусть длина стороны равна 1.

2. В квадрате \(ABCD\) все стороны равны 1, а углы прямые. Плоскости \(AMB\) и \(ABCD\) перпендикулярны.

3. Найдём длину отрезка \(MK\), где \(K\) — проекция точки \(M\) на сторону \(AD\). Так как \(AMB\) равносторонний треугольник, высота \(MK\) равна \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

4. Найдём длину отрезка \(KD\). В квадрате \(ABCD\) длина стороны \(AD = 1\), а точка \(K\) делит сторону \(AD\) в отношении \( \frac{1}{2} \), поэтому \(KD = \sqrt{1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \).

5. Угол между прямой \(MD\) и плоскостью \(ABC\) равен углу между прямой \(MD\) и её проекцией на плоскость \(ABC\), то есть углу \(MDK\).

6. Тангенс угла \(MDK\) равен отношению противолежащего катета \(MK\) к прилежащему катету \(KD\), то есть \( \tan \angle MDK = \frac{MK}{KD} \).

7. Подставим значения: \( \tan \angle MDK = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5} \).

8. Следовательно, угол \( \angle MDK = \arctan \frac{\sqrt{15}}{5} \).

9. Этот угол и есть искомый угол между прямой \(MD\) и плоскостью \(ABC\).

10. Ответ: угол между прямой \(MD\) и плоскостью \(ABC\) равен \( \arctan \frac{\sqrt{15}}{5} \).