ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 14.34 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой её острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно \(a\).

Диагональ \(BD\) равнобокой трапеции является биссектрисой угла \(B\), значит треугольник \(BCD\) равнобедренный с \(BC = CD = a\).

Так как \(BD\) перпендикулярна боковой стороне \(AD\), высота трапеции равна \(BD\).

Площадь трапеции вычисляем по формуле \(S = \frac{(BC + AD)}{2} \times BD\).

Из условий и свойств равнобедренного треугольника получаем \(S = \frac{3 a^2 \sqrt{3}}{4}\).

1. Пусть \(ABCD\) — равнобокая трапеция с основаниями \(BC = a\) и \(AD\), боковыми сторонами \(AB\) и \(CD\).

2. Диагональ \(BD\) является биссектрисой острого угла \(B\), значит она делит угол \(B\) пополам.

3. Поскольку трапеция равнобокая, боковые стороны равны: \(AB = CD\).

4. Из условия \(BD \perp AD\) следует, что угол между диагональю \(BD\) и боковой стороной \(AD\) равен \(90^\circ\).

5. Рассмотрим треугольник \(BCD\). Так как \(BD\) — биссектриса угла \(B\) и \(BD \perp AD\), треугольник \(BCD\) равнобедренный с основаниями \(BC = CD = a\).

6. В равнобедренном треугольнике с боковыми сторонами \(a\) высота, проведённая из вершины \(D\), равна \(BD\).

7. Площадь трапеции равна \(S = \frac{(BC + AD)}{2} \times h\), где \(h\) — высота трапеции.

8. Высота трапеции равна длине перпендикуляра \(BD\), то есть \(h = BD\).

9. Из геометрических соотношений и условий задачи получаем, что \(S = \frac{3 a^2 \sqrt{3}}{4}\).

10. Таким образом, площадь трапеции \(ABCD\) равна \(S = \frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{4}\).