ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 14.35 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь ромба, сторона которого равна 15 см, а сумма диагоналей — 42 см.

Сторона ромба равна 15, сумма диагоналей \(d_1 + d_2 = 42\). Обозначим \(d_1 = x\), тогда \(d_2 = 42 — x\).

По теореме Пифагора для половинок диагоналей:
\(15^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{42 — x}{2}\right)^2\).

Корни:
\(x_1 = \frac{42 — 6}{2} = 18\),
\(x_2 = \frac{42 + 6}{2} = 24\).

Площадь ромба:
\(S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24 = 216\).

1. Дано: сторона ромба \(AB = 15\) см, сумма диагоналей \(d_1 + d_2 = 42\) см. Нужно найти площадь ромба \(S\).

2. Обозначим диагонали ромба как \(d_1 = x\) и \(d_2 = 42 — x\).

3. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Половинки диагоналей равны \(\frac{x}{2}\) и \(\frac{42 — x}{2}\).

4. Сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(\frac{x}{2}\) и \(\frac{42 — x}{2}\). По теореме Пифагора:
\(15^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{42 — x}{2}\right)^2\).

5. Умножаем обе части уравнения на 4 для удобства вычислений:
\(4 \cdot 225 = x^2 + (42 — x)^2\),
\(900 = x^2 + (42 — x)^2\).

6. Раскрываем скобки в правой части:
\(900 = x^2 + 42^2 — 2 \cdot 42 \cdot x + x^2\),
\(900 = x^2 + 1764 — 84x + x^2\).

7. Суммируем одинаковые члены:
\(900 = 2x^2 — 84x + 1764\).

8. Переносим все члены в левую часть уравнения:
\(2x^2 — 84x + 1764 — 900 = 0\),
\(2x^2 — 84x + 864 = 0\).

9. Делим уравнение на 2 для упрощения:
\(x^2 — 42x + 432 = 0\).

10. Находим дискриминант:
\(D = (-42)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 432 = 1764 — 1728 = 36\).

11. Находим корни уравнения:
\(x_1 = \frac{42 — \sqrt{36}}{2} = \frac{42 — 6}{2} = 18\),
\(x_2 = \frac{42 + \sqrt{36}}{2} = \frac{42 + 6}{2} = 24\).

12. Вычисляем площадь ромба по формуле:
\(S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24 = 216\).

Ответ: 216 см².