Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 14.7 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Равнобедренные прямоугольные треугольники \(ABC\) и \(ADC\) имеют общую гипотенузу \(AC\), равную 6 см, а их плоскости перпендикулярны (рис. 14.11). Найдите расстояние между точками \(B\) и \(D\).
Пусть \(x\) — катет равнобедренного прямоугольного треугольника. Тогда по теореме Пифагора \(6^2 = 2x^2\).
Отсюда \(x^2 = \frac{36}{2} = 18\), значит \(x = 3\sqrt{2}\).
Так как плоскости перпендикулярны, расстояние \(BD\) связано с катетом: \(2BD^2 = 6^2\).
Отсюда \(BD^2 = 18\), значит \(BD = 3\sqrt{2}\).
1. Пусть \(x\) — длина катета равнобедренного прямоугольного треугольника \(ABC\). Тогда по теореме Пифагора для треугольника \(ABC\) справедливо равенство: \(AC^2 = AB^2 + BC^2\).
2. Так как треугольник равнобедренный, то \(AB = BC = x\). Значит, \(6^2 = x^2 + x^2 = 2x^2\).
3. Отсюда следует, что \(2x^2 = 36\), значит \(x^2 = \frac{36}{2} = 18\).
4. Следовательно, \(x = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).
5. Треугольники \(ABC\) и \(ADC\) лежат в перпендикулярных плоскостях, значит отрезок \(BD\) является пространственной диагональю, образованной катетами этих треугольников.
6. По свойствам прямоугольного параллелепипеда, в котором лежат эти треугольники, выполняется равенство: \(2BD^2 = AC^2\).
7. Подставляя известное значение, получаем \(2BD^2 = 6^2 = 36\).
8. Отсюда \(BD^2 = \frac{36}{2} = 18\).
9. Значит, \(BD = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).
10. Таким образом, расстояние между точками \(B\) и \(D\) равно \(3\sqrt{2}\) сантиметров.
