ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 14.9 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Отрезок \(AD\) — перпендикуляр к плоскости треугольника \(ABC\), \(\angle ACB = 90^\circ\) (рис. 14.13). Докажите, что плоскости \(BCD\) и \(ACD\) перпендикулярны.

Отрезок \(AD\) перпендикулярен плоскости \(ABC\), значит \(AD \perp AC\) и \(AD \perp BC\).

Угол \(ACB = 90^\circ\), значит \(AC \perp BC\).

Плоскости \(BCD\) и \(ACD\) пересекаются по прямой \(CD\).

Так как \(AD \perp BC\) и \(AD \perp AC\), а \(AD\) лежит в плоскости \(ACD\), то \(AD\) перпендикулярен плоскости \(BCD\).

По признаку перпендикулярности плоскостей, если прямая в одной плоскости перпендикулярна другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Следовательно, плоскости \(BCD \perp ACD\).

1. По условию, отрезок \(AD\) перпендикулярен плоскости треугольника \(ABC\). Значит, \(AD\) перпендикулярен каждому отрезку, лежащему в этой плоскости, в частности, \(AD \perp AC\) и \(AD \perp BC\).

2. Угол \(ACB\) равен \(90^\circ\), следовательно, отрезки \(AC\) и \(BC\) перпендикулярны: \(AC \perp BC\).

3. Рассмотрим плоскости \(BCD\) и \(ACD\). Они пересекаются по прямой \(CD\), так как \(CD\) принадлежит обеим плоскостям.

4. Отрезок \(AD\) лежит в плоскости \(ACD\), так как соединяет точки \(A\) и \(D\), принадлежащие этой плоскости.

5. Так как \(AD \perp BC\) и \(BC\) лежит в плоскости \(BCD\), а \(AD\) лежит в плоскости \(ACD\), то прямая \(AD\), лежащая в плоскости \(ACD\), перпендикулярна плоскости \(BCD\).

6. По признаку перпендикулярности плоскостей: если прямая, лежащая в одной плоскости, перпендикулярна другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

7. Следовательно, плоскости \(BCD\) и \(ACD\) перпендикулярны: \(BCD \perp ACD\).