ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 15.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Через одну из сторон ромба, диагонали которого равны 6 см и 12 см, проведена плоскость \(\alpha\), образующая с плоскостью ромба угол \(30^\circ\). Найдите площадь проекции данного ромба на плоскость \(\alpha\).

Площадь ромба равна \( \frac{1}{2} \times 6 \times 12 = 36 \) см².

Площадь проекции равна площади ромба, умноженной на косинус угла между плоскостями: \( 36 \times \cos 30^\circ = 36 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 18 \sqrt{3} \) см².

1. Ромб задан диагоналями \( d_1 = 6 \) см и \( d_2 = 12 \) см.

2. Площадь ромба вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \).

3. Подставляем значения: \( S = \frac{1}{2} \times 6 \times 12 = 36 \) см².

4. Плоскость \(\alpha\) проходит через одну из сторон ромба и образует с плоскостью ромба угол \( 30^\circ \).

5. Площадь проекции фигуры на плоскость, образующую угол \(\theta\) с исходной плоскостью, равна площади фигуры, умноженной на \( \cos \theta \).

6. В данном случае \( \theta = 30^\circ \), поэтому площадь проекции равна \( S_{пр} = S \times \cos 30^\circ \).

7. Косинус угла \( 30^\circ \) равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

8. Следовательно, \( S_{пр} = 36 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 18 \sqrt{3} \) см².

9. Итог: площадь проекции ромба на плоскость \(\alpha\) равна \( 18 \sqrt{3} \) см².

10. Ответ совпадает с примером и подтверждает правильность решения.