Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 15.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Сторона равностороннего треугольника \(ABC\) равна 12 см, а стороны треугольника \(A_1B_1C_1\) равны 10 см, 10 см и 12 см. Треугольник \(A_1B_1C_1\) является проекцией треугольника \(ABC\). Найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\).
Площадь треугольника \(ABC\) равна \(S_{ABC} = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = 36 \sqrt{3}\).
Полупериметр треугольника \(A_1B_1C_1\) равен \(p = \frac{10 + 10 + 12}{2} = 16\).
Площадь треугольника \(A_1B_1C_1\) по формуле Герона равна
\(S = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = 48\).
Угол между плоскостями вычисляется по формуле
\(\cos \theta = \frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{48}{36 \sqrt{3}} = \frac{16}{12 \sqrt{3}} = \frac{4}{3 \sqrt{3}}\).
Следовательно, угол между плоскостями равен \(\theta = \arccos \frac{4 \sqrt{3}}{9}\).
1. Дано равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(12\) см. Найдём его площадь по формуле для равностороннего треугольника: \(S_{ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36 \sqrt{3}\).
2. Треугольник \(A_1B_1C_1\) является проекцией треугольника \(ABC\) на другую плоскость, и его стороны равны \(10\), \(10\) и \(12\) см.
3. Найдём полупериметр треугольника \(A_1B_1C_1\): \(p = \frac{10 + 10 + 12}{2} = 16\).
4. Вычислим площадь треугольника \(A_1B_1C_1\) по формуле Герона: \(S_{A_1B_1C_1} = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)} = \sqrt{16 (16 — 10)(16 — 10)(16 — 12)} =\)
\(= \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{2304} = 48\).
5. Площадь проекции треугольника \(A_1B_1C_1\) связана с площадью исходного треугольника \(ABC\) и углом \(\theta\) между плоскостями следующим соотношением: \(S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} \cos \theta\).
6. Подставим известные значения: \(48 = 36 \sqrt{3} \cos \theta\).
7. Найдём косинус угла: \(\cos \theta = \frac{48}{36 \sqrt{3}} = \frac{4}{3 \sqrt{3}}\).
8. Упростим выражение: \(\cos \theta = \frac{4 \sqrt{3}}{9}\).
9. Следовательно, угол между плоскостями равен \(\theta = \arccos \frac{4 \sqrt{3}}{9}\).
10. Ответ: угол между плоскостями треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равен \(\arccos \frac{4 \sqrt{3}}{9}\).
