Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 15.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Сторона правильного шестиугольника равна 2 см, а площадь его проекции — 9 см². Найдите угол между плоскостью данного шестиугольника и плоскостью его проекции.
Площадь правильного шестиугольника со стороной \(a_6 = 2\) равна \(S_6 = 6 \times \frac{1}{2} \times 2^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}\).
Площадь проекции связана с площадью шестиугольника и углом \(\alpha\) так: \(S_{\text{пр}} = S_6 \cos \alpha\).
Подставляем данные: \(9 = 6 \sqrt{3} \cos \alpha\), отсюда \(\cos \alpha = \frac{9}{6 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Следовательно, угол \(\alpha = 30^\circ\).
1. Дана сторона правильного шестиугольника \(a_6 = 2\) см и площадь проекции \(S_{\text{пр}} = 9\) см².
2. Найдём площадь правильного шестиугольника по формуле \(S_6 = 6 \times \frac{1}{2} \times a_6^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\).
3. Подставим значение стороны: \(S_6 = 6 \times \frac{1}{2} \times 2^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}\) см².
4. Связь площади проекции с площадью шестиугольника и углом наклона \(\alpha\) выражается формулой \(S_{\text{пр}} = S_6 \cos \alpha\).
5. Подставим известные значения: \(9 = 6 \sqrt{3} \cos \alpha\).
6. Выразим косинус угла: \(\cos \alpha = \frac{9}{6 \sqrt{3}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
7. Найдём угол \(\alpha\) по формуле: \(\alpha = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}\).
8. Значение арккосинуса равно \(30^\circ\).
9. Таким образом, угол между плоскостью шестиугольника и плоскостью проекции равен \(30^\circ\).
10. Ответ: \(30^\circ\).
