ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 15.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Треугольник \(A_1B_1C_1\) является проекцией треугольника \(ABC\) на плоскость \(\alpha\), треугольник \(A_2B_2C_2\) — проекцией треугольника \(A_1B_1C_1\) на плоскость \(ABC\). Найдите угол между плоскостями \(ABC\) и \(\alpha\), если площадь треугольника \(ABC\) вдвое больше площади треугольника \(A_2B_2C_2\).

Пусть угол между плоскостями \(ABC\) и \(\alpha\) равен \(\theta\).

Площадь треугольника \(A_1B_1C_1\), проекции \(ABC\) на \(\alpha\), равна \(S_{ABC} \cos \theta\).

Площадь треугольника \(A_2B_2C_2\), проекции \(A_1B_1C_1\) обратно на \(ABC\), равна \(S_{A_1B_1C_1} \cos \theta = S_{ABC} \cos^2 \theta\).

По условию \(S_{ABC} = 2 S_{A_2B_2C_2} = 2 S_{ABC} \cos^2 \theta\), откуда \(\cos^2 \theta = \frac{1}{2}\).

Следовательно, \(\theta = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = 45^\circ\).

1. Пусть угол между плоскостями \(ABC\) и \(\alpha\) равен \(\theta\).

2. Треугольник \(A_1B_1C_1\) является проекцией треугольника \(ABC\) на плоскость \(\alpha\). При проекции площадь уменьшается в \( \cos \theta \) раз, поэтому
\(S_{A_1B_1C_1} = S_{ABC} \cos \theta\).

3. Треугольник \(A_2B_2C_2\) — проекция треугольника \(A_1B_1C_1\) обратно на плоскость \(ABC\). Площадь при проекции обратно на плоскость \(ABC\) также уменьшается в \( \cos \theta \) раз, значит
\(S_{A_2B_2C_2} = S_{A_1B_1C_1} \cos \theta = S_{ABC} \cos^2 \theta\).

4. По условию площади связаны соотношением
\(S_{ABC} = 2 S_{A_2B_2C_2}\).

5. Подставим выражение для \(S_{A_2B_2C_2}\):
\(S_{ABC} = 2 S_{ABC} \cos^2 \theta\).

6. Разделим обе части уравнения на \(S_{ABC}\) (так как площадь не равна нулю):
\(1 = 2 \cos^2 \theta\).

7. Отсюда
\(\cos^2 \theta = \frac{1}{2}\).

8. Следовательно
\(\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

9. Тогда угол между плоскостями равен
\(\theta = \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = 45^\circ\).

10. Ответ:
\(45^\circ\).