Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 15.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Ребро куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно \(a\). Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через ребро \(AD\) и образующей угол \(\alpha\) с плоскостью \(ABC\).ите площадь данного многоугольника, если сумма площадей этого многоугольника и его проекции равна 30 см².
Пусть ребро куба равно \(a\). Площадь основания \(ABCD\) равна \(a^2\).
Плоскость сечения проходит через ребро \(AD\) и образует угол \(\alpha\) с плоскостью \(ABC\).
Если \(0^\circ \leq \alpha \leq 45^\circ\), площадь сечения равна \(\frac{a^2}{\cos \alpha}\).
Если \(45^\circ < \alpha \leq 90^\circ\), площадь сечения равна \(\frac{a^2}{\sin \alpha}\).
1. Рассмотрим куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с ребром \( a \). Площадь основания \( ABCD \) равна \( a^2 \).
2. Плоскость сечения проходит через ребро \( AD \) и образует угол \(\alpha\) с плоскостью \( ABC \). Это значит, что угол между плоскостью сечения и основанием равен \(\alpha\).
3. Если рассмотреть проекцию сечения на плоскость основания, то длина проекции сечения будет равна \( a \), так как ребро \( AD \) лежит в обеих плоскостях.
4. Для вычисления площади сечения необходимо учитывать угол \(\alpha\), так как площадь сечения получается растянутой в направлении, перпендикулярном ребру \( AD \).
5. При угле \(\alpha\) от \(0^\circ\) до \(45^\circ\) площадь сечения увеличивается по формуле \( \frac{a^2}{\cos \alpha} \), так как проекция сечения на основание уменьшается, а сама площадь сечения растёт.
6. При угле \(\alpha\) от \(45^\circ\) до \(90^\circ\) площадь сечения выражается формулой \( \frac{a^2}{\sin \alpha} \), так как теперь угол между плоскостью сечения и основанием больше, и площадь сечения растёт по другому закону.
7. Таким образом, площадь сечения равна
| если \(0^\circ \leq \alpha \leq 45^\circ\) | \(\frac{a^2}{\cos \alpha}\) |
| если \(45^\circ < \alpha \leq 90^\circ\) | \(\frac{a^2}{\sin \alpha}\) |
8. Эти формулы учитывают, что плоскость сечения всегда проходит через ребро \( AD \), и угол \(\alpha\) задаёт наклон плоскости относительно основания куба.
9. В итоге, площадь сечения зависит от угла \(\alpha\) и ребра куба \( a \) по указанным формулам.
10. Ответ совпадает с приведённым примером и описывает площадь сечения куба плоскостью, проходящей через ребро \( AD \) под углом \(\alpha\) к плоскости основания.
