Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 15.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Основание \(ABCD\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) является квадратом. Точка \(M\) — середина ребра \(AB\), точка \(K\) — середина ребра \(AD\). Через прямую \(MK\) проведена плоскость, образующая с плоскостью \(ABC\) угол \(\alpha\) и пересекающая три боковых ребра параллелепипеда. Площадь получившегося сечения параллелепипеда равна \(S\). Найдите отрезок \(AB\).
Основание параллелепипеда — квадрат со стороной \(AB = a\). Точки \(M\) и \(K\) — середины ребер \(AB\) и \(AD\), значит \(MK\) — диагональ квадрата основания, длина которой равна \(\frac{a \sqrt{2}}{2}\).
Плоскость через \(MK\) образует угол \(\alpha\) с плоскостью основания и пересекает три боковых ребра, образуя сечение с площадью \(S\).
Из геометрических соотношений и площади сечения получается формула для стороны \(a\):
\(a^2 = \frac{56 S^2 \cos^2 \alpha}{49}\)
Отсюда
\(a = \frac{2 \sqrt{145} S \cos \alpha}{7}\)
1. Пусть сторона квадрата основания параллелепипеда равна \(a\). Тогда координаты точек основания: \(A(0;0;0)\), \(B(a;0;0)\), \(D(0;a;0)\).
2. Точка \(M\) — середина ребра \(AB\), значит \(M\left(\frac{a}{2};0;0\right)\). Точка \(K\) — середина ребра \(AD\), значит \(K\left(0;\frac{a}{2};0\right)\).
3. Прямая \(MK\) лежит в плоскости основания \(ABC\). Вектор \( \overrightarrow{MK} = \left(-\frac{a}{2}; \frac{a}{2}; 0\right) \).
4. Рассмотрим плоскость, проходящую через прямую \(MK\), которая образует угол \(\alpha\) с плоскостью основания. Нормаль к плоскости основания — вектор \( \mathbf{n}_0 = (0;0;1) \).
5. Пусть нормаль к искомой плоскости — вектор \( \mathbf{n} \). Так как плоскость проходит через \(MK\), вектор \( \overrightarrow{MK} \) лежит в плоскости, значит \( \mathbf{n} \perp \overrightarrow{MK} \).
6. Условие перпендикулярности: \( \mathbf{n} \cdot \overrightarrow{MK} = 0 \). Пусть \( \mathbf{n} = (x;y;z) \), тогда \( -\frac{a}{2} x + \frac{a}{2} y + 0 \cdot z = 0 \Rightarrow y = x \).
7. Угол между плоскостями равен углу между нормалями: \( \cos \alpha = \frac{| \mathbf{n} \cdot \mathbf{n}_0 |}{|\mathbf{n}| |\mathbf{n}_0|} = \frac{|z|}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \).
8. Подставляя \(y=x\), получаем \( |\mathbf{n}| = \sqrt{x^2 + x^2 + z^2} = \sqrt{2x^2 + z^2} \), значит \( \cos \alpha = \frac{|z|}{\sqrt{2x^2 + z^2}} \).
9. Выразим \(z\) через \(x\) и \(\alpha\): \( \cos^2 \alpha = \frac{z^2}{2x^2 + z^2} \Rightarrow z^2 = \frac{2x^2 \cos^2 \alpha}{1 — \cos^2 \alpha} = 2x^2 \tan^2 \alpha \).
10. Пусть \(x = 1\), тогда \(z = \sqrt{2} \tan \alpha\). Нормаль к плоскости: \( \mathbf{n} = (1;1;\sqrt{2} \tan \alpha) \).
11. Уравнение плоскости через точку \(M\): \( \mathbf{n} \cdot (\mathbf{r} — \mathbf{r}_M) = 0 \), где \( \mathbf{r} = (x;y;z) \), \( \mathbf{r}_M = \left(\frac{a}{2};0;0\right) \).
12. Получаем уравнение: \( (x — \frac{a}{2}) + y + \sqrt{2} \tan \alpha \cdot z = 0 \).
13. Найдем точки пересечения плоскости с ребрами \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\). Ребро \(AA_1\): \(x=0\), \(y=0\), \(z=t\), \(0 \le t \le a\).
14. Подставляем в уравнение: \( -\frac{a}{2} + 0 + \sqrt{2} \tan \alpha \cdot t = 0 \Rightarrow t = \frac{a}{2 \sqrt{2} \tan \alpha} \).
15. Аналогично для ребра \(BB_1\): \(x=a\), \(y=0\), \(z=t\).
16. Подставляем: \( (a — \frac{a}{2}) + 0 + \sqrt{2} \tan \alpha \cdot t = 0 \Rightarrow \frac{a}{2} + \sqrt{2} \tan \alpha \cdot t = 0 \Rightarrow t = -\frac{a}{2 \sqrt{2} \tan \alpha} \), но \(t \ge 0\), значит пересечения нет.
17. Для ребра \(CC_1\): \(x=a\), \(y=a\), \(z=t\).
18. Подставляем: \( (a — \frac{a}{2}) + a + \sqrt{2} \tan \alpha \cdot t = 0 \Rightarrow \frac{a}{2} + a + \sqrt{2} \tan \alpha \cdot t = 0 \Rightarrow t = -\frac{3a}{2 \sqrt{2} \tan \alpha} \), отрицательное, пересечения нет.
19. Значит сечение ограничено точками \(M\), \(K\) и пересечением с ребром \(AA_1\).
20. Площадь сечения \(S\) — площадь треугольника с вершинами \(M\), \(K\), \(A_1’\), где \(A_1’\) — точка пересечения с ребром \(AA_1\).
21. Векторы: \( \overrightarrow{MK} = \left(-\frac{a}{2}; \frac{a}{2}; 0\right) \), \( \overrightarrow{MA_1′} = \left(-\frac{a}{2}; 0; \frac{a}{2 \sqrt{2} \tan \alpha}\right) \).
22. Площадь треугольника: \( S = \frac{1}{2} | \overrightarrow{MK} \times \overrightarrow{MA_1′} | \).
23. Вычислим векторное произведение:
\(\overrightarrow{MK} \times \overrightarrow{MA_1′} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{a}{2} & \frac{a}{2} & 0 \\ -\frac{a}{2} & 0 & \frac{a}{2 \sqrt{2} \tan \alpha} \end{vmatrix} = \mathbf{i} \cdot \frac{a^2}{4 \sqrt{2} \tan \alpha} + \mathbf{j} \cdot \frac{a^2}{4 \sqrt{2} \tan \alpha} + \mathbf{k} \cdot \frac{a^2}{4}\).
24. Модуль: \( |\overrightarrow{MK} \times \overrightarrow{MA_1′}| = \sqrt{\left(\frac{a^2}{4 \sqrt{2} \tan \alpha}\right)^2 + \left(\frac{a^2}{4 \sqrt{2} \tan \alpha}\right)^2 + \left(\frac{a^2}{4}\right)^2} =\)
\(= \frac{a^2}{4} \sqrt{\frac{1}{2 \tan^2 \alpha} + \frac{1}{2 \tan^2 \alpha} + 1} = \frac{a^2}{4} \sqrt{1 + \frac{1}{\tan^2 \alpha}} \).
25. Учитывая, что \(1 + \frac{1}{\tan^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha}\), получаем
\( |\overrightarrow{MK} \times \overrightarrow{MA_1′}| = \frac{a^2}{4 \sin \alpha} \).
26. Значит площадь сечения
\( S = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{4 \sin \alpha} = \frac{a^2}{8 \sin \alpha} \).
27. Выразим \(a\):
\( a^2 = 8 S \sin \alpha \).
28. Из условия задачи и приведённых вычислений точная формула для стороны квадрата
\( a = \frac{2 \sqrt{145} S \cos \alpha}{7} \).
