Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 15.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Сторона равностороннего треугольника \(ABC\) равна 1 см. Треугольник \(A_1B_1C_1\) является проекцией треугольника \(ABC\). Известно, что
\(A_1B_1 < \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(A_1C_1 < \frac{1}{2}\). Докажите, что угол между плоскостями \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) больше \(60^\circ\).
Дано равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(AB = 1\) и его проекция \(A_1B_1C_1\), где \(A_1B_1 < \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(A_1C_1 < \frac{1}{2}\). Площадь треугольника \(ABC\) равна \(S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4}\). Площадь проекции \(S_1 \leq \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1 < \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}\). Косинус угла между плоскостями равен отношению площадей: \(\cos \varphi = \frac{S_1}{S} < \frac{\frac{\sqrt{3}}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{1}{2}\). Следовательно, угол \(\varphi > 60^\circ\).
1. Дан равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(AB = 1\). Плоскость \(A_1B_1C_1\) — проекция плоскости \(ABC\), при этом проекции сторон удовлетворяют условиям \(A_1B_1 < \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(A_1C_1 < \frac{1}{2}\). 2. Площадь треугольника \(ABC\) вычисляется по формуле \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}\). 3. Площадь проекции треугольника \(A_1B_1C_1\) не превышает площадь треугольника с проекциями сторон, то есть \(S_1 \leq \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1\). 4. По условию \(A_1B_1 < \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(A_1C_1 < \frac{1}{2}\). 5. Следовательно, \(S_1 < \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}\). 6. Угол \(\varphi\) между плоскостями \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) связан с отношением площадей проекции к исходной площади через косинус: \(\cos \varphi = \frac{S_1}{S}\). 7. Подставляя найденные значения, получаем \(\cos \varphi < \frac{\frac{\sqrt{3}}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{1}{2}\). 8. Из неравенства \(\cos \varphi < \frac{1}{2}\) следует, что \(\varphi > 60^\circ\).
9. Таким образом, угол между плоскостями \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) строго больше \(60^\circ\).
10. Итог:
угол между плоскостями \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) больше \(60^\circ\).
