ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 15.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В окружность вписан квадрат со стороной \(6\sqrt{2}\) см. Найдите сторону правильного треугольника, описанного около этой окружности.

Радиус окружности, описанной около квадрата со стороной \(6\sqrt{2}\), равен половине диагонали квадрата: \(r = \frac{6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = 6\).

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник выражается формулой \(r = \frac{AB \sqrt{3}}{6}\), откуда сторона треугольника \(AB = \frac{6r}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot 6}{\sqrt{3}} = 12 \sqrt{3}\).

Ответ: \(AB = 12 \sqrt{3}\) сантиметров.

1. Дана сторона квадрата \(a = 6\sqrt{2}\) см. Для нахождения радиуса описанной окружности найдем диагональ квадрата по формуле \(d = a \sqrt{2}\).

2. Подставляем значение стороны: \(d = 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 6 \cdot 2 = 12\) см.

3. Радиус окружности равен половине диагонали, значит \(r = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6\) см.

4. Рассмотрим правильный треугольник, описанный около той же окружности. Радиус вписанной окружности в правильный треугольник выражается формулой \(r = \frac{AB \sqrt{3}}{6}\), где \(AB\) — сторона треугольника.

5. Из формулы выразим сторону треугольника: \(AB = \frac{6r}{\sqrt{3}}\).

6. Подставим найденный радиус: \(AB = \frac{6 \cdot 6}{\sqrt{3}} = \frac{36}{\sqrt{3}}\).

7. Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \(AB = \frac{36 \sqrt{3}}{3} = 12 \sqrt{3}\) см.

8. Таким образом, сторона правильного треугольника, описанного около данной окружности, равна \(12 \sqrt{3}\) см.

9. Ответ совпадает с примером и соответствует условию задачи.

10. Итог: сторона правильного треугольника \(AB = 12 \sqrt{3}\) см.