ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 15.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC = b\), \(\angle A = \alpha\), \(\angle B = \beta\). Найдите площадь треугольника.

В треугольнике сумма углов равна 180°, значит \(\angle C = 180^\circ — \alpha — \beta\).

По теореме синусов \(\frac{AC}{\sin \beta} = \frac{BC}{\sin \alpha} = \frac{AB}{\sin \angle C}\).

Отсюда \(BC = \frac{b \sin \alpha}{\sin \beta}\) и \(AB = \frac{b \sin(\alpha + \beta)}{\sin \beta}\).

Площадь треугольника равна \(S = \frac{1}{2} BC \times AB \times \sin \beta\).

Подставляя значения, получаем \(S = \frac{b^2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin \beta}\).

1. В треугольнике сумма углов равна 180°, значит \(\angle C = 180^\circ — \alpha — \beta\).

2. По теореме синусов отношение сторон к синусам противолежащих углов одинаково: \(\frac{AC}{\sin \beta} = \frac{BC}{\sin \alpha} = \frac{AB}{\sin \angle C}\).

3. Из этого следует, что \(BC = \frac{b \sin \alpha}{\sin \beta}\).

4. Аналогично, \(AB = \frac{b \sin(\alpha + \beta)}{\sin \beta}\).

5. Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними: \(S = \frac{1}{2} BC \times AB \times \sin \beta\).

6. Подставляем выражения для \(BC\) и \(AB\): \(S = \frac{1}{2} \times \frac{b \sin \alpha}{\sin \beta} \times \frac{b \sin(\alpha + \beta)}{\sin \beta} \times \sin \beta\).

7. Упрощаем выражение: \(S = \frac{b^2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin \beta}\).

8. Получаем формулу площади треугольника через сторону \(b\) и углы \(\alpha\) и \(\beta\): \(S = \frac{b^2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin \beta}\).