Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 15.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC = b\), \(\angle A = \alpha\), \(\angle B = \beta\). Найдите площадь треугольника.
В треугольнике сумма углов равна 180°, значит \(\angle C = 180^\circ — \alpha — \beta\).
По теореме синусов \(\frac{AC}{\sin \beta} = \frac{BC}{\sin \alpha} = \frac{AB}{\sin \angle C}\).
Отсюда \(BC = \frac{b \sin \alpha}{\sin \beta}\) и \(AB = \frac{b \sin(\alpha + \beta)}{\sin \beta}\).
Площадь треугольника равна \(S = \frac{1}{2} BC \times AB \times \sin \beta\).
Подставляя значения, получаем \(S = \frac{b^2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin \beta}\).
1. В треугольнике сумма углов равна 180°, значит \(\angle C = 180^\circ — \alpha — \beta\).
2. По теореме синусов отношение сторон к синусам противолежащих углов одинаково: \(\frac{AC}{\sin \beta} = \frac{BC}{\sin \alpha} = \frac{AB}{\sin \angle C}\).
3. Из этого следует, что \(BC = \frac{b \sin \alpha}{\sin \beta}\).
4. Аналогично, \(AB = \frac{b \sin(\alpha + \beta)}{\sin \beta}\).
5. Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними: \(S = \frac{1}{2} BC \times AB \times \sin \beta\).
6. Подставляем выражения для \(BC\) и \(AB\): \(S = \frac{1}{2} \times \frac{b \sin \alpha}{\sin \beta} \times \frac{b \sin(\alpha + \beta)}{\sin \beta} \times \sin \beta\).
7. Упрощаем выражение: \(S = \frac{b^2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin \beta}\).
8. Получаем формулу площади треугольника через сторону \(b\) и углы \(\alpha\) и \(\beta\): \(S = \frac{b^2 \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)}{2 \sin \beta}\).
