ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 15.2 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Может ли площадь проекции многоугольника быть больше, чем площадь самого многоугольника?

Пусть \(S\) — площадь многоугольника, а \(S_p\) — площадь его проекции на какую-либо плоскость.

Площадь проекции равна площади многоугольника, умноженной на косинус угла между нормалью к многоугольнику и направлением проекции: \(S_p = S \cdot \cos \theta\).

Так как \(\cos \theta \leq 1\), то \(S_p \leq S\).

Следовательно, площадь проекции не может быть больше площади самого многоугольника.

Нет, площадь проекции не может быть больше площади многоугольника.

1. Пусть \(S\) — площадь многоугольника, а \(S_p\) — площадь его проекции на некоторую плоскость.

2. Проекция многоугольника на плоскость — это образ многоугольника при ортогональном отображении на эту плоскость.

3. Площадь проекции \(S_p\) связана с площадью исходного многоугольника \(S\) через угол \(\theta\) между нормалью к плоскости многоугольника и направлением проекции.

4. Формула связи: \(S_p = S \cdot \cos \theta\), где \(\theta\) — угол между нормалью к многоугольнику и направлением проекции.

5. Так как \(\cos \theta \leq 1\) для любого угла \(\theta\), то \(S_p \leq S\).

6. Максимальное значение площади проекции достигается при \(\theta = 0\), когда проекция совпадает с самим многоугольником.

7. При всех остальных углах площадь проекции строго меньше площади многоугольника.

8. Следовательно, площадь проекции не может превышать площадь исходного многоугольника.

9. Итог: \(S_p \leq 1 \cdot S = S\).

10. Таким образом, ответ: площадь проекции не может быть больше площади многоугольника.