ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 15.4 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите площадь многоугольника, если площадь его проекции на некоторую плоскость равна 24 см², а угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции равен \(30^\circ\).

Площадь проекции равна \(S_{\text{проекции}} = 24\) см², угол между плоскостями \(\alpha = 30^\circ\).

Площадь многоугольника связана с площадью проекции формулой \(S = \frac{S_{\text{проекции}}}{\cos \alpha}\).

Подставляем значения: \(S = \frac{24}{\cos 30^\circ} = \frac{24}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 24 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{48}{\sqrt{3}} = 16 \sqrt{3}\) см².

Ответ: \(16 \sqrt{3}\) см².

1. Дана площадь проекции многоугольника на плоскость \(S_{\text{проекции}} = 24\) см² и угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции \(\alpha = 30^\circ\).

2. Площадь многоугольника \(S\) связана с площадью проекции формулой \(S = \frac{S_{\text{проекции}}}{\cos \alpha}\), так как проекция уменьшает площадь на коэффициент \(\cos \alpha\).

3. Вычислим косинус угла: \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

4. Подставим значения в формулу: \(S = \frac{24}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 24 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\).

5. Упростим выражение: \(S = \frac{48}{\sqrt{3}}\).

6. Домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\) для рационализации: \(S = \frac{48 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{48 \cdot \sqrt{3}}{3}\).

7. Сократим дробь: \(S = 16 \cdot \sqrt{3}\).

8. Получаем площадь многоугольника \(S = 16 \sqrt{3}\) см².

9. Итог: площадь многоугольника больше площади проекции на коэффициент \( \frac{1}{\cos \alpha}\).

10. Ответ совпадает с примером: \(16 \sqrt{3}\) см².