ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 15.5 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Площадь многоугольника равна 20 см², а площадь его проекции — 16 см². Найдите угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Площадь проекции равна площади многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостями: \( S_{\text{пр}} = S \cdot \cos \alpha \).

Подставляем данные: \( 16 = 20 \cdot \cos \alpha \).

Находим косинус угла: \( \cos \alpha = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} \).

Угол между плоскостями равен \( \alpha = \arccos \frac{4}{5} \).

1) В условии задачи даны две величины: площадь многоугольника \( S = 20 \text{ см}^2 \) и площадь его проекции на другую плоскость \( S_{\text{пр}} = 16 \text{ см}^2 \). Проекция многоугольника представляет собой его «тень» на другую плоскость, которая получается при «смотрении» на многоугольник под определённым углом. При этом площадь проекции всегда меньше или равна площади исходного многоугольника, и разница между ними зависит от угла между этими плоскостями.

2) Между площадью многоугольника и площадью его проекции существует математическая связь, которая выражается формулой \( S_{\text{пр}} = S \cdot \cos \alpha \), где \( \alpha \) — угол между плоскостью многоугольника и плоскостью, на которую проецируется фигура. Эта формула отражает тот факт, что проекция «сжимает» площадь в направлении, перпендикулярном плоскости проекции, и степень этого сжатия определяется косинусом угла между плоскостями.

3) Подставляя известные значения в формулу, получаем уравнение \( 16 = 20 \cdot \cos \alpha \). Чтобы найти угол \( \alpha \), нужно выразить косинус: \( \cos \alpha = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} \). После этого вычисляем сам угол как обратную функцию косинуса: \( \alpha = \arccos \frac{4}{5} \). Это значение и есть искомый угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.