ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 15.7 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Ребро куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), изображённого на рисунке 15.4, равно 2 см. Используя теорему о площади ортогональной проекции, вычислите площадь сечения \(AB_1C_1D\).

Ребро куба равно 2 см. Сечение \(AB_1C_1D\) — параллелограмм. Его площадь равна произведению стороны на высоту.

Длина стороны равна 2 см, высота равна \(2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\) см.

Площадь сечения \(S = 2 \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}\) см².

1. Дано куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с ребром \( 2 \) см. Нужно найти площадь сечения \( AB_1C_1D \).

2. Точки \( A \) и \( D \) лежат на нижней грани куба, точки \( B_1 \) и \( C_1 \) — на верхней грани.

3. Рассмотрим векторы, образующие сечение:
\( \overrightarrow{AB_1} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB} \),
где \( \overrightarrow{AA_1} \) и \( \overrightarrow{AB} \) — ребра куба длиной 2 см.

4. Вектор \( \overrightarrow{AB} \) направлен по оси \( x \), вектор \( \overrightarrow{AA_1} \) — по оси \( z \).

5. Тогда \( \overrightarrow{AB_1} = (2, 0, 2) \).

6. Вектор \( \overrightarrow{AD} \) лежит на нижней грани и равен \( (0, 2, 0) \).

7. Площадь параллелограмма с векторами \( \overrightarrow{AB_1} \) и \( \overrightarrow{AD} \) равна длине их векторного произведения:
\( S = |\overrightarrow{AB_1} \times \overrightarrow{AD}| \).

8. Вычислим векторное произведение:
\( \overrightarrow{AB_1} \times \overrightarrow{AD} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 0 \\
\end{vmatrix} = (-4, 0, 4) \).

9. Длина вектора:
\( |(-4, 0, 4)| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2} \).

10. Площадь сечения равна \( 4 \sqrt{2} \) см², но так как сечение — четырехугольник, а не параллелограмм, площадь делим на 2, получаем:
\( S = 2 \sqrt{2} \) см².