ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 15.8 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Отрезок \(DC\) — перпендикуляр к плоскости треугольника \(ABC\) (рис. 15.5). Найдите площадь треугольника \(ADB\), если \(\angle ACB = 90^\circ\), \(AC = 8\) см, \(BC = 10\) см, а угол между плоскостями \(ABC\) и \(ABD\) равен \(45^\circ\).

Площадь треугольника \(ABC\) вычисляется по формуле \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 = 40\).

Угол между плоскостями \(ABC\) и \(ABD\) равен \(45^\circ\), значит площадь \(S_{ADB}\) связана с \(S_{ABC}\) через косинус этого угла: \(S_{ADB} = \frac{S_{ABC}}{\cos 45^\circ}\).

Подставляем значение косинуса: \(S_{ADB} = \frac{40}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 40 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 40 \sqrt{2}\).

1. В треугольнике \(ABC\) угол \(ACB\) равен \(90^\circ\), следовательно, треугольник прямоугольный. По условию \(AC = 8\) см, \(BC = 10\) см.

2. Площадь треугольника \(ABC\) вычисляется по формуле площади прямоугольного треугольника: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 = 40\) см\(^2\).

3. Из условия известно, что отрезок \(DC\) перпендикулярен плоскости \(ABC\), то есть \(DC \perp ABC\).

4. Угол между плоскостями \(ABC\) и \(ABD\) равен \(45^\circ\). Это означает, что плоскость \(ABD\) наклонена к плоскости \(ABC\) под углом \(45^\circ\).

5. Площадь треугольника \(ADB\) связана с площадью \(ABC\) через угол между плоскостями. Если проекция треугольника \(ADB\) на плоскость \(ABC\) равна \(ABC\), то площадь \(ADB\) равна площади \(ABC\), делённой на косинус угла между плоскостями.

6. Следовательно, \(S_{ADB} = \frac{S_{ABC}}{\cos 45^\circ}\).

7. Значение \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

8. Подставляем числовые значения: \(S_{ADB} = \frac{40}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 40 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}\).

9. Упрощаем выражение: \(S_{ADB} = 40 \sqrt{2}\).

10. Итог: площадь треугольника \(ADB\) равна \(40 \sqrt{2}\) см\(^2\).