Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 15.9 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 18 см, а боковая сторона — 8 см. Найдите площадь проекции данной трапеции на плоскость \(\alpha\), если угол между плоскостью трапеции и плоскостью \(\alpha\) равен \(30^\circ\).
Найдём половину разности оснований: \(EK = \frac{18 — 10}{2} = 4\) см.
Высота трапеции: \(CK = \sqrt{8^2 — 4^2} = \sqrt{64 — 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\) см.
Площадь трапеции: \(S = \frac{10 + 18}{2} \times 4\sqrt{3} = 14 \times 4\sqrt{3} = 56\sqrt{3}\) см².
Площадь проекции: \(S_{пр} = 56\sqrt{3} \times \cos 30^\circ = 56\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 56 \times \frac{3}{2} = 84\) см².
1. Для начала определим, что трапеция равнобокая, то есть её боковые стороны равны по длине. Основания трапеции заданы: \(BC = 10\) см и \(AD = 18\) см, а боковая сторона \(AB = 8\) см. Чтобы найти высоту трапеции, нужно рассмотреть треугольник, образованный высотой и половиной разности оснований. Половина разности оснований равна \(EK = KD = \frac{18 — 10}{2} = 4\) см. Это означает, что если провести высоту из вершины \(C\) на основание \(AD\), она разделит основание на два отрезка, один из которых равен 4 см.
2. Далее найдём высоту трапеции \(CK\), используя теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(CKD\), где гипотенуза \(CD\) равна боковой стороне трапеции \(8\) см, а один катет \(KD = 4\) см. Тогда высота равна \(CK = \sqrt{CD^2 — KD^2} = \sqrt{8^2 — 4^2} = \sqrt{64 — 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\) см. Таким образом, высота трапеции составляет \(4\sqrt{3}\) сантиметров.
3. Теперь можно вычислить площадь трапеции по формуле: \(S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \times CK\). Подставим значения: \(S_{ABCD} = \frac{10 + 18}{2} \times 4\sqrt{3} = 14 \times 4\sqrt{3} = 56\sqrt{3}\) см². Это площадь самой трапеции, расположенной в пространстве.
4. Задача требует найти площадь проекции трапеции на плоскость \(\alpha\), если угол между плоскостью трапеции и плоскостью \(\alpha\) равен \(30^\circ\). Площадь проекции равна площади фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостями. Используем формулу \(S_{пр} = S_{ABCD} \times \cos 30^\circ\). Значение косинуса угла \(30^\circ\) равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Тогда площадь проекции будет равна \(S_{пр} = 56\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 56 \times \frac{3}{2} = 84\) см².
5. Итоговый результат показывает, что площадь проекции равнобокой трапеции с заданными сторонами и углом наклона к плоскости \(\alpha\) равна 84 квадратным сантиметрам. Это значение учитывает как геометрические параметры трапеции, так и угол её наклона относительно плоскости проекции.
