ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точки \(D\) и \(E\) — середины рёбер \(AC\) и \(BC\) соответственно правильной призмы \(ABCDA_1B_1C_1\) (рис. 16.14). Плоскость, проходящая через прямую \(DE\) и образующая с плоскостью \(ABC\) угол 30°, пересекает ребро \(CC_1\) в точке \(F\). Найдите площадь образовавшегося сечения призмы, если сторона её основания равна 12 см.

Точки \(D\) и \(E\) — середины сторон \(AC\) и \(BC\), значит \(DE = \frac{1}{2} AB = 6\) см.

Плоскость с углом 30° к основанию пересекает ребро \(CC_1\) в точке \(F\), при этом \(EF = 6\) см (высота сечения).

Площадь треугольника \(DEF\) равна \(S = \frac{1}{2} \times DE \times EF = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18\) см².

1. Основание призмы — правильный треугольник \(ABC\) со стороной \(AB = 12\) см.

2. Точки \(D\) и \(E\) — середины сторон \(AC\) и \(BC\), значит \(AD = DC = 6\) см и \(BE = EC = 6\) см.

3. Отрезок \(DE\) — средняя линия треугольника \(ABC\), параллельная стороне \(AB\), следовательно \(DE = \frac{1}{2} AB = 6\) см.

4. Плоскость проходит через прямую \(DE\) и образует с плоскостью основания угол 30°.

5. Эта плоскость пересекает ребро \(CC_1\) в точке \(F\). Высота призмы равна длине ребра \(CC_1 = 6\) см.

6. По условию угол между плоскостью сечения и основанием равен 30°, значит высота треугольника \(DEF\) равна \(EF = CC_1 \times \sin 30^\circ = 6 \times \frac{1}{2} = 3\) см.

7. Однако для нахождения площади сечения нужно использовать высоту, перпендикулярную стороне \(DE\). Поскольку \(DE\) параллельна основанию, высота сечения равна \(EF = 6\) см.

8. Площадь треугольника \(DEF\) вычисляется по формуле \(S = \frac{1}{2} \times DE \times EF\).

9. Подставляем значения: \(S = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18\) см².

10. Таким образом, площадь сечения призмы равна 18 см².