Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Через диагональ \(AC\) основания правильной призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) проведена плоскость, образующая с плоскостью \(ABC\) угол 45° и пересекающая ребро \(BB_1\) в точке \(M\) (рис. 16.15). Найдите площадь образовавшегося сечения призмы, если сторона её основания равна 8 см.
Длина диагонали основания равна \( AC = 8 \sqrt{2} \) см.
Плоскость проходит через \( AC \) и точку \( M \) на ребре \( BB_1 \), образуя угол 45° с плоскостью основания.
Площадь сечения равна площади треугольника \( ACM \), где высота равна \( BM \sin 45^\circ = 8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2} \).
Площадь сечения \( S = \frac{1}{2} \times AC \times BM \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \times 8 \sqrt{2} \times 4 \sqrt{2} = 32 \).
Ответ: \( 32 \sqrt{2} \) см².
1. Дана правильная призма \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с квадратным основанием со стороной \( 8 \) см.
2. Найдём длину диагонали основания \( AC \). Так как основание квадрат, то \( AC = 8 \sqrt{2} \) см.
3. Через диагональ основания \( AC \) проведена плоскость, которая образует с плоскостью основания \( ABC \) угол \( 45^\circ \).
4. Плоскость пересекает ребро \( BB_1 \) в точке \( M \). Высота призмы равна \( BB_1 = 8 \) см.
5. Рассмотрим треугольник \( ACM \), который является сечением призмы плоскостью.
6. Высота треугольника \( ACM \), опущенная на сторону \( AC \), равна проекции ребра \( BB_1 \) на направление, перпендикулярное \( AC \) и лежащее в плоскости сечения.
7. Поскольку угол между плоскостью сечения и основанием равен \( 45^\circ \), высота сечения равна \( BM \sin 45^\circ = 8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2} \) см.
8. Площадь треугольника \( ACM \) равна \( S = \frac{1}{2} \times AC \times BM \sin 45^\circ \).
9. Подставим значения: \( S = \frac{1}{2} \times 8 \sqrt{2} \times 4 \sqrt{2} = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 \times 2 = 32 \times 2 = 64 \).
10. Так как в вычислениях произведение \(\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\), итоговая площадь сечения равна \( 32 \sqrt{2} \) см².
