Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной призмы, сторона основания которой равна \(a\), а высота равна \(H\).
Дано: сторона основания \(a\), высота призмы \(H\).
Площадь основания правильного треугольника равна \( \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).
Площадь боковой поверхности равна периметру основания, умноженному на высоту: \( 3aH \).
Площадь полной поверхности равна сумме площади двух оснований и боковой поверхности: \( 2 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + 3aH = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} + 3aH \).
Ответ: площадь полной поверхности \( \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} + 3aH \).
Основанием призмы является правильный треугольник со стороной \(a\). Площадь такого треугольника вычисляется по формуле \( \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \). Эта формула вытекает из геометрических свойств правильного треугольника, где высота равна \( \frac{a \sqrt{3}}{2} \), а площадь равна половине произведения основания на высоту. Таким образом, площадь одного основания призмы равна \( \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \).
Боковая поверхность призмы представляет собой прямоугольник, который разворачивается в виде полосы, длина которой равна периметру основания, а ширина — высоте призмы \(H\). Периметр правильного треугольника равен сумме трех равных сторон, то есть \(3a\). Следовательно, площадь боковой поверхности равна произведению периметра на высоту, то есть \(3aH\). Это отражает тот факт, что боковая поверхность состоит из трёх прямоугольников, каждый с основанием \(a\) и высотой \(H\).
Площадь полной поверхности призмы — это сумма площадей двух оснований и боковой поверхности. Площадь двух оснований равна \(2 \cdot \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}\), а боковой поверхности — \(3aH\). Складывая эти значения, получаем итоговую формулу для площади полной поверхности: \( \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3aH \). Эта формула учитывает все поверхности призмы и позволяет быстро вычислить её площадь при заданных параметрах \(a\) и \(H\).
