ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите диагонали правильной шестиугольной призмы, каждое ребро которой равно \(a\).

Диагональ правильного шестиугольника, проходящая через центр, равна \(2a\).

Короткая диагональ правильного шестиугольника равна \(a \sqrt{3}\).

Таким образом, диагонали основания призмы:

\(BE = a \sqrt{3}\),

\(AD = 2a\).

Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной \(a\). Каждая сторона равна \(a\), и все углы равны 120°. Диагонали в правильном шестиугольнике бывают двух типов: короткие, которые соединяют вершины через одну, и длинные, которые проходят через центр и соединяют противоположные вершины. Короткая диагональ равна длине стороны умноженной на корень из трёх, то есть \(a \sqrt{3}\), а длинная диагональ равна удвоенной длине стороны, то есть \(2a\).

В правильной шестиугольной призме основания — это правильные шестиугольники. Если рассмотреть диагонали основания, то короткая диагональ будет равна \(a \sqrt{3}\), а длинная — \(2a\). Эти диагонали лежат в плоскости основания и не зависят от высоты призмы. Высота призмы равна длине ребра \(a\), и она перпендикулярна основанию, поэтому при рассмотрении диагоналей, соединяющих вершины в разных основаниях, нужно учитывать высоту.

Если рассмотреть диагональ призмы, соединяющую вершину \(B\) в нижнем основании и вершину \(E_1\) в верхнем, то эта диагональ будет гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(a \sqrt{3}\) (короткая диагональ основания) и \(a\) (высота призмы). По теореме Пифагора длина такой диагонали равна \( \sqrt{(a \sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \). Таким образом, диагональ призмы, соединяющая противоположные вершины в разных основаниях, равна \(2a\).