ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основание прямой призмы — ромб со стороной \(a\) и острым углом \(\alpha\). Большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол \(\beta\). Найдите диагонали призмы.

Основание — ромб со стороной \(a\) и углом \(\alpha\), диагонали которого равны \(2a \cos \frac{\alpha}{2}\) и \(2a \sin \frac{\alpha}{2}\).

Большая диагональ призмы \(B_1D\) образует с плоскостью основания угол \(\beta\), значит её длина увеличивается по формуле \(B_1D = \frac{2a \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos \beta}\).

Вторая диагональ призмы равна диагонали основания \(2a \sin \frac{\alpha}{2}\), так как она параллельна плоскости основания и не изменяется по высоте.

Ответ: диагонали призмы равны \( \frac{2a \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos \beta} \) и \( 2a \sin \frac{\alpha}{2} \).

Основание призмы — ромб со стороной \(a\) и острым углом \(\alpha\). Для ромба диагонали можно выразить через сторону и угол. Первая диагональ равна \(2a \cos \frac{\alpha}{2}\), вторая — \(2a \sin \frac{\alpha}{2}\). Эти формулы получаются из разложения ромба на два равных треугольника, где диагонали являются биссектрисами и высотами. Таким образом, мы точно знаем длины диагоналей основания.

Призма образована переносом основания вверх на высоту \(h\), причём большая диагональ призмы образует угол \(\beta\) с плоскостью основания. Это значит, что диагональ призмы — это не просто диагональ основания, а вектор, поднятый на высоту \(h\), который наклонён относительно основания под углом \(\beta\). Если обозначить большую диагональ основания за \(d_1 = 2a \cos \frac{\alpha}{2}\), то длина диагонали призмы \(D\) связана с высотой и углом \(\beta\) через тригонометрию: \(D = \frac{d_1}{\cos \beta}\). Это выражение отражает, что при увеличении угла \(\beta\) диагональ призмы становится длиннее, так как она поднимается вверх.

Вторая диагональ призмы остаётся параллельной плоскости основания, так как она не изменяет направление по высоте, следовательно, её длина равна длине диагонали основания \(d_2 = 2a \sin \frac{\alpha}{2}\). Итоговый ответ: диагонали призмы равны \( \frac{2a \cos \frac{\alpha}{2}}{\cos \beta} \) и \( 2a \sin \frac{\alpha}{2} \).