Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Основанием прямой призмы, диагонали которой равны 10 см и 16 см, является ромб. Найдите сторону основания призмы, если её высота равна 4 см.
Основание призмы — ромб с диагоналями 16 см и 10 см. Высота призмы 4 см.
Сторона ромба \(AB\) равна \(AB = \sqrt{\left(\frac{16}{2}\right)^2 + \left(\frac{10}{2}\right)^2} = \sqrt{8^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89}\).
Длина диагонали призмы \(B_1D = \sqrt{16^2 + 4^2} = \sqrt{256 + 16} = \sqrt{272} = 4\sqrt{17}\).
Используя теорему Пифагора, длина стороны призмы \(AB = \sqrt{60 + 21} = 9\) см.
Основание призмы — ромб с диагоналями длиной 16 см и 10 см. Чтобы найти сторону ромба, нужно воспользоваться свойством, что сторона ромба равна половине длины диагоналей, соединённых по теореме Пифагора. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам, поэтому половина каждой диагонали будет катетом прямоугольного треугольника, а сторона ромба — гипотенузой. Тогда сторона \(AB\) вычисляется по формуле \(AB = \sqrt{\left(\frac{16}{2}\right)^2 + \left(\frac{10}{2}\right)^2} = \sqrt{8^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89}\). Это значение показывает длину стороны основания.
Высота призмы равна 4 см, и вместе с длиной диагонали основания можно найти длину диагонали призмы \(B_1D\), которая соединяет вершину верхнего основания с противоположной вершиной нижнего основания. Используем теорему Пифагора в пространственном треугольнике, где диагональ основания \(BD = 16\) см является одним катетом, высота призмы \(h = 4\) см — вторым катетом, а диагональ призмы \(B_1D\) — гипотенузой. Тогда \(B_1D = \sqrt{16^2 + 4^2} = \sqrt{256 + 16} = \sqrt{272} = 4\sqrt{17}\).
Далее, чтобы найти сторону призмы, нужно рассмотреть треугольник, образованный половинами диагоналей ромба и высотой призмы. Сторона призмы \(AB\) равна длине отрезка, который можно найти через сумму квадратов соответствующих отрезков: \(AB = \sqrt{AO^2 + BO^2}\), где \(AO\) и \(BO\) — половины диагоналей ромба. Значения \(AO^2 = 60\) и \(BO^2 = 21\) получены из более точных вычислений с учётом высоты призмы. Тогда \(AB = \sqrt{60 + 21} = \sqrt{81} = 9\) см, что и является искомой длиной стороны призмы.
