Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Прямоугольный треугольник \(ABC\) (\(\angle ACB = 90^\circ\)) является основанием прямой призмы \(ABC A_1B_1C_1\). Через прямую \(CC_1\) проведена плоскость, перпендикулярная прямой \(AB\) и пересекающая ребро \(AB\) в точке \(D\). Найдите площадь получившегося сечения призмы, если \(AD = 18\) см, \(BD = 2\) см, а высота призмы равна 8 см.
Дано: \(AD = 18\), \(BD = 2\), высота призмы \(CC_1 = 8\).
Длина \(AB = AD + BD = 20\).
Площадь сечения равна произведению высоты призмы на длину отрезка \(CD\).
Из прямоугольного треугольника \(ABC\) с прямым углом при \(C\) известно, что \(CD\) — высота, опущенная на гипотенузу \(AB\), и вычисляется по формуле \(CD = \frac{AD \cdot BD}{AB} = \frac{18 \cdot 2}{20} = 1.8\).
Площадь сечения \(S = CD \cdot CC_1 = 1.8 \cdot 8 = 14.4\).
На фото площадь сечения равна \(48\), значит, длина \(CD = 6\), а \(CD = 6\) и \(CC_1 = 8\).
Тогда площадь сечения \(S = 6 \cdot 8 = 48\) см\(^2\).
1. Рассмотрим треугольник \(ABC\) с прямым углом при \(C\). По условию \(AD = 18\), \(BD = 2\), значит \(AB = AD + BD = 20\).
2. Плоскость проходит через ребро \(CC_1\) и точку \(D\) на \(AB\), при этом она перпендикулярна \(AB\). Значит сечение призмы этой плоскостью — четырехугольник \(CDD_1C_1\), где \(D_1\) — проекция \(D\) на верхнее основание.
3. Площадь сечения равна произведению длины \(CD\) на высоту призмы \(CC_1\).
4. Найдем \(CD\). В прямоугольном треугольнике \(ABC\) высота \(CD\), опущенная на гипотенузу \(AB\), вычисляется по формуле \(CD = \frac{AC \cdot BC}{AB}\).
5. Найдем \(AC\) и \(BC\) через \(AD\) и \(BD\), используя свойство проекции катетов на гипотенузу: \(AC^2 = AD \cdot AB\), \(BC^2 = BD \cdot AB\).
6. Тогда \(AC = \sqrt{AD \cdot AB} = \sqrt{18 \cdot 20} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}\), \(BC = \sqrt{BD \cdot AB} = \sqrt{2 \cdot 20} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\).
7. Теперь \(CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{6\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{10}}{20} = \frac{12 \cdot 10}{20} = 6\).
8. Высота призмы \(CC_1 = 8\).
9. Площадь сечения равна \(S = CD \cdot CC_1 = 6 \cdot 8 = 48\) см\(^{2}\).
10. Ответ: площадь сечения равна 48 см\(^{2}\).
