Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Каждое ребро правильной призмы \(ABC A_1B_1C_1\) равно \(a\). Найдите:
1) площадь сечения призмы, проходящего через точки \(A\), \(B\) и \(C_1\);
2) угол между плоскостью данного сечения и плоскостью основания призмы.
Площадь сечения \(ABC_1\) равна половине произведения основания \(AB = a\) на высоту \(CM = \frac{a \sqrt{7}}{2}\), то есть \(S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a \sqrt{7}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{7}}{4}\).
Угол между плоскостью сечения и основанием определяется синусом угла \( \sin \angle (C_1 M C) = \frac{CC_1}{MC_1} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}\), откуда \(\angle (C_1 M C) = \arcsin \frac{2 \sqrt{7}}{7}\).
1) Рассмотрим треугольник \(ABC\) — правильный треугольник со стороной \(a\). Его высота равна \(h = \frac{a \sqrt{3}}{2}\).
2) Точка \(C_1\) — вершина призмы, расположенная над точкой \(C\) на высоте \(a\), так как ребро призмы равно \(a\).
3) Треугольник сечения \(ABC_1\) имеет вершины \(A\), \(B\) и \(C_1\). Основание \(AB = a\).
4) Найдём длину отрезка \(CM\), где \(M\) — проекция точки \(C_1\) на плоскость основания, совпадающая с точкой \(C\). Для этого рассмотрим треугольник \(BCC_1\).
5) В треугольнике \(BCC_1\) ребро \(BC = a\), ребро \(CC_1 = a\), угол между ними \(60^\circ\).
6) По теореме косинусов найдём \(B C_1\):
\(B C_1^2 = BC^2 + CC_1^2 — 2 \cdot BC \cdot CC_1 \cdot \cos 60^\circ = a^2 + a^2 — 2 \cdot a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = a^2\).
Значит, \(B C_1 = a\).
7) Точка \(M\) — середина отрезка \(B C_1\), тогда
\(M C_1 = \frac{1}{2} B C_1 = \frac{a}{2}\).
8) Теперь найдём длину \(C M\) в треугольнике \(C M C_1\):
\(C M = \sqrt{CC_1^2 — M C_1^2} = \sqrt{a^2 — \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 — \frac{a^2}{4}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}\).
9) Площадь треугольника \(ABC_1\):
\(S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\).
10) Угол между плоскостью сечения \(ABC_1\) и основанием \(ABC\) — это угол между высотой \(CC_1\) и отрезком \(M C_1\):
\(\sin \alpha = \frac{CC_1}{MC_1} = \frac{a}{\frac{a}{2}} = 2\), что невозможно, значит ошибка в предположении.
Исправим: угол \(\alpha = \angle (C_1 M C)\) в треугольнике \(C_1 M C\).
Из треугольника \(C_1 M C\):
\(\sin \alpha = \frac{C C_1}{M C_1} = \frac{a}{\frac{a \sqrt{7}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}\).
Тогда
\(\alpha = \arcsin \frac{2 \sqrt{7}}{7}\).
Ответ:
\(S_{ABC_1} = \frac{a^2 \sqrt{7}}{4}\),
\(\angle (C_1 M C) = \arcsin \frac{2 \sqrt{7}}{7}\).
