Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Прямоугольный треугольник \(ABC\) (\(\angle ACB = 90^\circ\)) является основанием прямой призмы \(ABC A_1B_1C_1\). Плоскость, проходящая через прямую \(LC\), образует с плоскостью основания призмы угол \(\beta\) и пересекает ребро \(BB_1\) в точке \(D\). Найдите площадь образовавшегося сечения, если \(\angle BAC = \alpha\), \(BD = a\).
Дано, что призма с основанием прямоугольным треугольником \(ABC\) и угол при вершине \(C\) равен \(90^\circ\). Плоскость проходит через ребро \(LC\) и пересекает ребро \(BB_1\) в точке \(D\), образуя с плоскостью основания угол \(\beta\).
Пусть \(BD = a\), угол \(\angle BAC = \alpha\).
Площадь сечения \(S_{UDC}\) равна половине произведения отрезков \(EDC\) и \(DK\), которые выражаются через \(a\), \(\alpha\), \(\beta\).
Формула площади сечения:
\(S_{UDC} = \frac{1}{2} \cdot edc \cdot DK = \frac{a^2 \cot^2 \beta \cdot \cot \alpha}{2 \cos \beta}\).
Призма построена на основании прямоугольного треугольника \(ABC\) с прямым углом при вершине \(C\), то есть \(\angle ACB = 90^\circ\). Плоскость, проходящая через ребро \(LC\), пересекает ребро \(BB_1\) в точке \(D\), при этом угол между этой плоскостью и плоскостью основания равен \(\beta\). Из условия известно, что длина отрезка \(BD = a\), а угол \(\angle BAC = \alpha\). Для нахождения площади сечения \(S_{UDC}\) нужно выразить длины отрезков, образующих треугольник сечения, через эти известные параметры.
Поскольку плоскость образует угол \(\beta\) с основанием, проекция отрезка \(BD\) на плоскость основания связана с этим углом. Длина проекции равна \(a \cot \beta\), что позволяет определить координаты точки пересечения с ребром \(AB\) или \(AC\). Учитывая, что треугольник основан на прямом угле \(\alpha\), длины сторон основания связаны через тригонометрические функции угла \(\alpha\). В частности, длина отрезка, лежащего в основании, пропорциональна \(a \cot \beta \cot \alpha\).
Площадь треугольника \(UDC\), образующего сечение, вычисляется по формуле \(S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\). В данном случае основание и высота выражаются через отрезок \(a\) и углы \(\alpha\), \(\beta\) с помощью тригонометрических функций. Итоговая формула площади сечения принимает вид \(S_{UDC} = \frac{a^{2} \cot^{2} \beta \cdot \cot \alpha}{2 \cos \beta}\), что отражает зависимость площади от длины отрезка \(BD\) и заданных углов.
