Учебник «Геометрия. 10 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического изучения геометрии на старшей ступени школы. Издание соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 10 класса, позволяя учащимся не только освоить базовые понятия, но и развить пространственное мышление.
ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Основанием прямой призмы является ромб с острым углом \(\alpha\), большая диагональ ромба равна \(d\). Через меньшую диагональ нижнего основания и вершину острого угла верхнего основания провели плоскость, образующую с плоскостью нижнего основания призмы угол \(\beta\). Найдите:
1) высоту призмы;
2) площадь образовавшегося сечения призмы.
Высота призмы равна \(CC_1 = \frac{d}{2} \tan \beta\), так как в треугольнике \(C_1OC\) высота связана с углом наклона плоскости.
Площадь сечения \(S_{BCD} = \frac{d^2 \tan^2 \frac{\alpha}{2}}{4 \cos \beta}\), так как площадь треугольника выражается через диагональ ромба и высоту сечения с учетом угла \(\beta\).
Высота призмы \(CC_1\) определяется углом \(\beta\) между плоскостью основания и сечением, проходящим через меньшую диагональ ромба и вершину верхнего основания. Рассмотрим треугольник \(C_1OC\), где \(O\) — точка пересечения диагоналей ромба в основании. В этом треугольнике высота \(CC_1\) является противолежащим катетом к углу \(\beta\), а половина большей диагонали \( \frac{d}{2} \) — прилежащим катетом. Поэтому высоту можно выразить через тангенс угла \(\beta\) как \(CC_1 = \frac{d}{2} \tan \beta\).
Для нахождения площади сечения \(S_{BCD}\) используем свойства ромба и тригонометрию. Меньшая диагональ ромба равна \(d \tan \frac{\alpha}{2}\), так как острый угол ромба \(\alpha\) делится диагоналями пополам. Площадь треугольника \(BCD\), образованного сечением, равна половине произведения основания \(BD\) на высоту \(C_1O\). Основание \(BD\) равно меньшей диагонали, а высота \(C_1O\) связана с высотой призмы и углом \(\beta\), поэтому площадь выражается формулой \(S_{BCD} = \frac{1}{2} BD \cdot C_1O = \frac{d^2 \tan^2 \frac{\alpha}{2}}{4 \cos \beta}\).
Таким образом, высота призмы зависит от угла наклона плоскости сечения и длины большей диагонали основания, а площадь сечения учитывает как геометрию ромба, так и наклон сечения. Формулы позволяют найти необходимые параметры, используя известные углы и длины, без дополнительных построений.
