ГДЗ по Геометрии 10 Класс Базовый Уровень Номер 16.28 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной призмы \(ABC A_1B_1C_1\) равна 2 см, а боковое ребро — 6 см. Диагонали боковой грани \(AA_1B_1B\) пересекаются в точке \(D\). Найдите угол между прямой \(CD\) и плоскостью \(ABC\).

Угол между прямой \(CD\) и плоскостью \(ABC\) равен углу между \(CD\) и её проекцией на плоскость, то есть \(\angle CDB\).

Длина диагонали боковой грани \(CD = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2 \cdot \sqrt{10}\).

Так как \(D\) — середина диагоналей, то \(CD = DB = \sqrt{10}\).

Угол \(\angle CDB = 60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\).

Для нахождения угла между прямой \(CD\) и плоскостью \(ABC\) необходимо рассмотреть проекцию этой прямой на плоскость \(ABC\). Угол между прямой и плоскостью равен углу между этой прямой и её ортогональной проекцией на плоскость. В данном случае проекцией прямой \(CD\) на плоскость \(ABC\) является отрезок \(CB\), так как точка \(D\) лежит на боковой грани, а \(B\) — вершина основания.

Длина бокового ребра \(AA_1\) равна 6 см, а сторона основания правильного треугольника \(ABC\) равна 2 см. Рассмотрим боковую грань \(AA_1B_1B\), которая является параллелограммом. Точка \(D\) — точка пересечения диагоналей этого параллелограмма, значит она является его центром и делит диагонали пополам. Значит длина отрезка \(CD\) равна половине диагонали боковой грани, которую можно найти по теореме Пифагора: \(CD = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2 \cdot \sqrt{10}\).

Для вычисления угла \(\angle CDB\) используем свойства правильного треугольника \(ABC\), в котором все углы равны 60 градусам, и длины сторон равны 2 см. Отрезок \(DB\) лежит в плоскости основания и равен длине стороны основания, то есть 2 см. Теперь угол между прямой \(CD\) и плоскостью \(ABC\) равен углу между векторами \(CD\) и \(CB\), который равен 60 градусам. Это подтверждается тем, что в правильном треугольнике все углы равны 60 градусам, а \(D\) расположена так, что сохраняет эту симметрию.

Ответ: угол между прямой \(CD\) и плоскостью \(ABC\) равен 60 градусам, то есть \(60^\circ\).